§26. Вычисление длины линии

При вычислении длин линий в результат измерения вводят поправки, которые исключают влияние система­тических погрешностей.

Поправка ∆D_к за компарирование мерного прибора. При измерении линий фактическая длина мерного при­бора отличается от номинала на величину поправки за компарирование l = l₀ + ∆l_к. Оцифровка мерного при­бора соответствует номиналу, поэтому результат измере­ния остатка обозначим через r₀. В этом случае фактиче­ская длина остатка r за счет поправки за компарирование изменится на величину, пропорциональную длине остат­ка, т. е.

r = r₀ + (∆_к/l₀)r₀ (26.1)

Аналогичное равенства можно записать для отрезка, чья длина кратна номинальной длине ленты l₀

D = n(l₀ + ∆l_к), (26.2)

где n – число целых мерных лент, отложенных в процессе измерения отрезка.

Полная длина линии запишется как сумма (24.1) и (24.2)

D = n(l₀ + ∆l_к) + (r₀ + r₀). (26.3)

Раскроем скобки и перепишем формулу (24.3) в несколько ином виде

D = (nl₀ + r₀) + _к. (26.4)

Величина (nl₀ + r₀) – эта длина линии, вычисленная с номинальным значением длины мерного прибора. Обозначив ее через D₀, запишем

D = D₀ + (D₀/l₀)∆l_к .

Величину

∆D_к = D – D₀ = (D₀/l₀)∆l_к

называют поправкой в длину мерного прибора за компарирование.

Поправка ∆D _t за температуру мерного прибора. При измерении линий температура мерного прибора t обычно отличается от температуры компарирования t₀. В этом случае длина мерного прибора равна

l = l₀ + α(t – t₀)l₀

где α – коэффициент линейного расширения материала мерного прибора (для стали α = 12,5.10^-6).

Соответственно изменится длина остатка

r = r₀ + α(t – t₀)r₀.

С учетом предыдущего соотношения получим уравнение, учитывающее поправку за температурное расширение прибора.

D = (nl₀ + r₀) + α (t – t₀) (nl₀ + r₀),

но nl₀ + r₀ =D₀, тогда

D = D₀ + α (t – t₀) D₀.

Величину

∆D_t = D – D₀ = α(t – t₀)D₀.

называют поправкой в длину линии за температуру мер­ного прибора.

Если при измерении линий для создания топографиче­ских планов разность температур по абсолютной величине не превышает 8º, то поправку за температуру не учиты­вают. При учете поправок обычно измеряют температуру воздуха, а не мерного прибора. Возникающая при этом погрешность мала и не влияет на точность измерений.

При измерении длин линий на конструкциях зданий и сооружений дополнительно учитывают температурные расширения конструкций. Если температуру конструкций при эксплуатации обозначить через t_э, то поправку за температуру можно вычислить по формуле

∆D_t = ∆α(t_ср– t_э)D₀ + ∆tα_срD₀, (26.5)

где α_ср, t_ср – средние значения соответственно коэффи­циентов линейного расширения и температур конструк­ций и мерного прибора; ∆α, ∆t – разности коэффициентов линейного расширения и температур конструкций мерного прибора.

Поправку по формуле (26.5) учитывают при выполнении высокоточных линейных измерений на конструкциях уникальных сооружений.

На объектах массовой застройки из сборных железо­бетонных конструкций разность коэффициентов линейного расширения ∆α. близка к нулю (0,5.10^-6), поэтому пер­вый член правой части равенства (26.5) мал. Тогда

∆D_t = ∆tα_срD₀.

Наибольшие затруднения при измерениях вызывает определение температуры конструкций, так как для этого приходится в них делать лунки. Поэтому поправки по формуле (26.5) учитывают только при возведении зданий повышенной этажности и промышленных сооружений с пролетами между опорами более 6м.

На типовых зданиях массовой застройки для упро­щения вычислений и измерений значения поправок метро­вых делений прибора приводят к значениям температуры эксплуатации здания, что позволяет обойтись без учета температуры.

Поправка ∆D_ν,h за приведение линии к горизонту. Горизонтальное положение d наклонной линии D находят по углу наклона v или по превышению h (рис. 31).

Если известен угол наклона, то из прямоугольного треугольника АВС имеем

d = D cos ν.

Рис. 31. Поправка за приведение линии к горизонту

При вычислениях горизонтальных проложений исполь­зуют микрокалькуляторы. При отсутствии микрокальку­лятора для упрощения вычислений в результаты измере­ний вводят поправку

∆ D_ν = d – D = – D(1 – cosν) = –2D sin(ν/2)

Поправка за приведение линий к горизонту всегда отрицательна,, так как горизонтальное проложение всегда меньше длины наклонной линии.

При углах наклона менее 10º синус изменяется про­порционально значениям угла. Поэтому sin (v/2)≈ 0,5 sin v. Тогда

∆D_ν = –0,5sin²ν

Если известно превышение концов измеряемой линии, то по теореме Пифагора (рис. 31) имеем

D² = d² +h²; h² = D² – d² = (D – d) (D + d).

При вычислениях поправки обычно удерживают две­–три значащие цифры, поэтому можно принять d≈D. Если учесть, что ∆D_h = d – D, то

∆D_h = – h²/2D (24.6)

Если линия имеет перегибы ската, то поправки за приведение к горизонту вычисляют по частям. При этом линию разбивают на отрезки с равномерными скатами, а поправку для каждого отрезка вычисляют раздельно по формуле (24.6).

Окончательно горизонтальное проложение линии с уче­том всех поправок вычисляют по формуле

d = D₀ + ∆D_к + ∆D_t + ∆D_ν,h.

При измерении линий могут быть допущены промахи и грубые погрешности. Один вид промахов (оцифровку делений) был отмечен выше. Существует еще целый ряд погрешностей, влияние которых на суммарный результат измере­ний можно существенно уменьшить. Эти погрешности носят си­стематический характер по влиянию на результат, но случайны по величине. Чтобы уменьшить их величины, необходимо учиты­вать следующее.

1. Отклонение концов рулетки от створа измерений всегда увеличивает измеряемую длину. Чем меньше отклоняются концы от створа, тем меньше погрешность измерения. При измерениях для многих целей укладку мерных приборов в створ производят с использованием оптических труб. К такому приему прибегают в тех случаях, когда хотят получить результат с относительной погрешностью менее 1:3000 от измеряемой длины. Отклонения от створа концов 30 и 50-метровых рулеток более чем на 0,15м недопустимы.

2. Большую погрешность в измеряемую длину может внести разное натяжение прибора при эталонировании и практической работе. Следует избегать избыточного натяжения, так как тонкое полотно рулеток растягивается, при этом часто не восстанавли­вая начальную длину. Достаточно точно (до ± 100 Н) можно вы­держать натяжение, используя для этого ручные приборы – ди­намометры типа ПН-2 или пружинные бытовые весы.

3. Недопустимо ослаблять внимание при отсчитывании по кон­цам мерного прибора или его фиксации. Достигнутая точность может быть утрачена при неодновременном снятии отсчетов, под­вижке мерного прибора во время фиксации его концов. Поэтому не следует пренебрегать возможностью дважды или даже трижды взять отсчеты по концам мерного прибора и сравнить разности от­счетов по переднему и заднему концам (П – 3). Разность отсчетов (для одного пролета измерений) при работе рулетками не должна превышать 2мм, а при измерении мерными лентами – 1см.

4. Необходимо следить не только за превышением концов мер­ного прибора, но и за его изгибом в вертикальной плоскости. Точ­ность определения поправки за наклон зависит от точности опре­деления превышений: чем короче линия, тем точнее надо знать превышение. Как правило, достаточно его знать с погрешностью до 1,0...1,5 см на 100м длины.

5. При введении поправок за отличие температуры, данной в урав­нении рулетки (+20С^º), и температуры измерений следует помнить, что измеряют температуру воздуха, а поправку вводят за изменение температуры металлического полотна мерного прибора. Поэтому при прямом солнечном облучении мерного прибора термометр подкла­дывают под его полотно и держат 3...5 мин. с тем, чтобы точнее определить температуру мерного полотна. Разность температуры воз­духа и мерного прибора измеряют с погрешностью не грубее 5 С^º.

6. Существенно исказить результат измерения может плохое за­крепление точек, между которыми ведется измерение. Вязкая поч­ва, зыбко забитые кол, штырь или шпилька, изменяющие свое положение от случайных ударов, приводят к появлению недопу­стимых погрешностей в измеряемой длине. Назад