- •Казанский государственный архитектурно-строительный университет
- •« Краткий курс инженерной геодезии»
- •Раздел 2
- •Раздел 3
- •Раздел 4
- •Раздел 1
- •§ 1. Задачи геодезии
- •§3. Краткие сведения об истории геодезии
- •Глава 1
- •§ 4. Сведения о фигуре земли
- •§5. Системы координат, применяемые в геодезии
- •§6. Система координат гаусса-крюгера
- •§7. Системы высот в геодезии
- •Глава 2
- •§8. Азимуты, румбы, дирекционные углы и зависимости
- •§9. Приборы для ориентирования на местности
- •Глава 3
- •§10. Общие сведения о топографических материалах
- •§11. Масштабы
- •§12. Условные знаки на планах и картах
- •§ 13. Рельеф местности и способы его изображения.
- •§ 14. Классификация и номенклатура
- •§ 15. Решение задач на планах и картах
- •§ 16. Изображение земной поверхности в цифровом виде
- •Глава 4
- •§ 17. Погрешности и их виды
- •§18. Свойства случайных погрешностей
- •§19. Средняя квадратическая, предельная
- •§20.Оценка точности результатов измерений
- •§ 21. Средняя квадратическая ошибка функции
- •Раздел 2 геодезические измерения
- •Глава 5
- •Измерение длины линий
- •§ 22. Вводные сведения
- •§ 23. Механические мерные приборы
- •§24. Компарирование
- •§25. Измерение линий мерными приборами
- •§26. Вычисление длины линии
- •§ 27. Оптические дальномеры
- •§ 28. Нитяной дальномер
- •§ 29. Свето– и радиодальномеры
- •§ 30. Измерение недоступных расстояний
- •Глава 6
- •§ 31. Способы нивелирования
- •§32. Геометрическое нивелирование
- •§ 33. Классификация и устройство нивелиров и
- •§35.Поверки и юстировки нивелиров
- •§ 36. Производство нивелирования
- •Глава 7
- •§ 37. Измерение углов на местности
- •§ 38. Типы теодолитов
- •§ 39. Поверки и юстировка
- •§ 40. Измерение горизонтальных углов
- •§ 41. Измерение вертикальных углов
- •Раздел 3 топографические съемки
- •Глава 8
- •Общие сведения о государственных геодезических сетях
- •§ 42. Виды геодезических сетей
- •§ 43. Методы создания геодезических сетей
- •§ 44. Государственная плановая геодезическая сеть
- •§45. Государственная высотная геодезическая сеть
- •§ 46. Закрепление пунктов государственных
- •§ 47. Сети съемочного обоснования
- •§ 48. Основные геодезические задачи
- •§ 49. Плановые сети сгущения
- •§ 50. Съемочные плановые сети
- •§ 51. Создание высотного обоснования
- •Глава 9
- •§ 52. Сущность и виды топографических съемок
- •§ 53. Теодолитная съемка
- •§54. Сущность тахеометрическои съемки
- •§ 55. Нивелирование поверхности
- •§ 56. Нивелирование поверхности по квадратам
- •Раздел 4
- •Глава 10
- •§ 57. Общие сведения
- •§ 58. Геодезические изыскания для строительства
- •§59. Общие сведения о геодезических изысканиях
- •§ 60.Элементы круговых кривых. Вынос пикета на кривую
- •Глава 11
- •§ 61. Общие сведения о пректе производства
- •§ 62. Геодезические работы при проектировании трасс
- •§ 63. Вертикальная планировка, построение
- •Глава 12 геодезические разбивочные работы
- •§ 64. Назначение и организация разбивочных работ
- •§ 65. Основные элементы разбивочных работ
- •§ 66. Передача отметок на монтажные горизонты
- •§ 67. Способы разбивки сооружений
- •§68.Детальная разбивка горизонтальных кривых при строительстве автомобильных дорог
- •§ 69. Способы подготовки разбивочных данных
- •§ 70. Основные разбивочные работы
- •§71. Способы закрепления осей сооружения на строительной площадке
- •Глава 13 исполнительные съемки
- •§ 72. Назначение и методы исполнительных съемок
- •§73. Исполнительные съемки в строительстве
- •§ 74. Составление исполнительных генеральных планов
§18. Свойства случайных погрешностей
Случайные погрешности характeризуются следующими свойствами.
1. При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешностью. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые погрешности.
2. Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинаково часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погрешностей.
3. Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно математически записать так:
lim ([∆]/n) = 0, где [∆] – знак суммы, т.е. [∆] = ∆1 + ∆2 + ∆3 + ∙∙∙ + ∆n; n- число измерений.
Последнее свойство случайных погрешностей позволяет установить принцип получения из ряда измерений одной и той же величины результата, наиболее близкого к ее истинному значению, т. е. наиболее точного. Таким результатом является среднее арифметическое из п измеренных значений данной величины. При бесконечно большом числе измерений lim([l]/n) = X.
При конечном числе измерений арифметическая средина х = [l]/n содержит остаточную случайную погрешность, однако от точного значения Х измеряемой величины она отличается меньше, чем любой результат l непосредственного измерения. Это позволяет при любом числе измерений, если n > 1, принимать арифметическую средину за окончательное значение измеренной величины. Точность окончательного результата тем выше, чем больше n. Назад
§19. Средняя квадратическая, предельная
И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ
Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т. е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом cредняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по следующей формуле:
, (19.1)
где n – число измерений данной величины.
Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко. В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению, – арифметическую средину. Для этого случая средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:
, (19.2)
где δ – отклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической середины, называемые вероятнейшими погрешностями, причем [δ] = 0.
Точность арифметической средины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле.
M = m/ (19.3)
где т – средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (19.1) или (19.2).
Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения
, (19.4)
а среднего результата из двух измерений
(19.5)
где d – разность двукратно измеренных величин; п – число разностей (двойных измерений).
В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах предельная погрешность называется допускаемым отклонением.
Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолютное большинство случайных погрешностей (68,3 %) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± m; в интервал от 0 до ±2m попадает 95,4%, а от 0 до ± 3m – 99,7% погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На основании этого в качестве предельной погрешности ∆пр. для данного ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т. е. ∆пр.= 3т. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ∆пр. = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосходят ∆пр. считают грубыми.
Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратичной или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой – единица, а знаменатель – число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110м при ml = 2см равна ml/l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при ∆пр. = 3т = 6см ∆пр./l = 1/1800.
Назад