§ 15. Решение задач на планах и картах

Географические координаты точки А (рис. 17.) широту φ и долготу λ определяют на плане или карте, пользуясь минутными шкалами рамок трапеции. Для определения широты через точку А проводят линию параллельно рамкам трапеций и берут отсчеты в местах пересечения со шкалой западной или вос­точной рамки. Аналогично для определения долготы через точку А проводят меридиан и берут отсчеты по шкалам северной или южной рамки.

Рис. 17. Определение координат точки на

топографическом плане: 1 – вертикальная

километровая линия; 2 – цифровое обозначение

горизонтальных линий сетки; 3 – цифровые обозначения

вертикальных линий координатной сетки; 4 - внутренняя

рамка; 5 – рамка с минутами; 6 – горизонтальная

километровая линия

В приведенном примере широта φ = 54º58,6′ с. ш., долгота λ = 37º31,0′ в. д.

Прямоугольные координаты X_A и Y_A точки А определяют относительно километровых линий сетки.

Для этого измеряют расстояние ∆X и ∆Y по перпендикулярам до ближайших километровых линий с координатами X₀ и Y₀ и находят

X_A = X₀ + ∆X

и

Y_A = Y₀ + ∆Y.

Расстояния между точками на планах и картах определяют с помощью линейного или поперечного масштаба, криволинейные отрезки – прибором курвиметром.

Для измерения дирекционного угла линии через на­чальную ее точку проводят линию, параллельную оси абсцисс, и непосредственно при этой точке измеряют дирекционный угол. Можно также продолжить линию до пересечения ею ближайшей линии ординат координатной сетки и измерить дирекционный угол в точке пересечения.

Для непосредственного измерения истинного азимута линии через ее начальную точку проводят меридиан (параллельно восточной или западной рамке трапеции) и относительно него измеряют азимут.

Так как меридиан проводить трудно, можно определить снача­ла дирекционный угол линии, а затем по приведенным форму­лам вычислить истинный и магнитный азимуты.

Определение крутизны ската. Крутизна ската характеризуется углом наклона ν, который образует линия местности, например АВ, с горизонтальной плоскостью Р (рис.18).

tg ν = h/a, (15.1)

где h – высота сечения рельефа; а – заложение.

Зная тангенс, по таблицам значений тригонометрических функций или с помощью микрокалькулятора находят значение угла наклона.

Крутизну ската характеризуют также уклоном линии

i = tg ν. (15.2)

Уклон линии измеряют в процентах или промилле (‰), т. е. тысячных долях единицы.

Рис. 18. Схема к определению крутизны ската

Как правило, при работе с картой или планом угол наклона либо уклон ската определяют, пользуясь графиками (рис.19) масштабами заложений.

Масштаб 1:1000

Высота сечения h =1,0 м

Рис. 19. Графики заложений к плану масштаба 1:1000 при высоте

сечения рельефа h = 1,0м

а – для углов наклона; б – уклонов.

Для этого с плана берут заложение между двумя горизонталями по данному скату, затем по графику находят то место, где расстояние между кривой и горизонтальной прямой равно этому заложению. Для найденной таким образом ординаты читают значение ν или i по горизонтальной прямой (на приведенных графиках отмечено звездочками: ν = 2,5º; i = 0,05 = 5% = 50‰).

Пример 1. Определить угол наклона и уклон ската местности между горизонталями на плане масштаба 1:1000, если заложение равно 20мм, высота сечения рельефа h = 1,0м. На местности заложению будет соответствовать длина отрезка 20мм ∙ 1000 = 20000мм = 20м. По формулам (15.1) и (15.2) tgν = i = 1:20 = 0,05. Следовательно, i = 5% = 50‰, а ν = 2,9º.

Определение отметок точек местности. Если точка расположена на горизонтали, ее отметка равна отметке горизонтали. Когда точ­ка К (рис. 20) находится между горизонталями с разными высотами, ее отметка Н_К определяется интерполированием (нахождением про­межуточных значений величин) «на глаз» между отметками этих горизонталей.

Интерполирование заключается в определении коэффициента пропорциональности расстояния d от определяемой точки до мень­шей по значению горизонтали Н_МГ. К величине заложения а, т.е. отношения d/а, и умножения его на значение высоты сечения рельефа h.

Пример 2. Отметка точки К , расположенной между горизонталями с отметками 150 и 152,5м (рис. 20, а),

H_K = H_М.Г + (d/a)h = 150 + 0,4 ∙ 2,5 = 151м.

Рис. 20. Определение отметок точек по горизонталям:

а…г – схемы при высоте сечения h = 2,5м

Если определяемая точка расположена между одноименными гори­зонталями - на седловине (рис.20, б) или внутри замкнутой горизонта­ли - на холме или котловине (рис.20, в, г), то ее отметку можно опреде­лить лишь приближенно, считая, что она больше или меньше высоты этой горизонтали на 0,5h. Например, на рисунке для седловины отметка точки К равна 138,8м, для холма - 128,8м, котловины - 126,2м.

Проведение на карте линии заданного предельного уклона (рис. 21). Между заданными на карте точками А и В требуется провести кратчайшую линию так, чтобы ни один отрезок не имел уклона больше заданного предельного i_пр.

Рис. 21. Схема проведения на карте

линии заданного предельного уклона

Проще всего задача решается с помощью масштаба заложения для уклонов. Взяв по нему раствором циркуля заложение а_пр, со­ответствующее уклону, засекают последовательно точки 1...7 ­все горизонтали от точки А до точки В. Если раствор циркуля меньше расстояния между горизонталями, то линию проводят по кратчайшему направлению. Соединив все точки, получают линию с заданным предельным уклоном.

Если нет масштаба заложений, то заложение а_пр можно под­считать по формуле а_пр = h/(i_прМ), где М – знаменатель числового масштаба карты.

Рис. 22. Схема построения профиля по заданному направлению:

а – направление по карте; б – профиль по направлению

Построение профиля местности по заданному на карте направ­лению. Рассмотрим построение профиля на конкретном примере (рис. 22). Пусть требуется построить профиль местности по ли­нии АВ. Для этого линию АВ переносят в масштабе карты на бума­гу и отмечают на ней точки 1, 2, 4, 5, 7, 9, в которых она пере­секает горизонтали, а также характерные точки рельефа (3, 6, 8). Линия АВ служит основанием профиля. Взятые с карты отметки точек откладывают на перпендику­лярах (ординатах) к основанию про­филя в масштабе, в 10 раз превы­шающем горизонтальный масштаб. Полученные точки соединяют плав­ной линией. Обычно ординаты про­филя уменьшают на одну и ту же ве­личину, т. е. строят профиль не от нуля высот, а от условного горизонта УГ (на рис. 22 за условный гори­зонт принята высота, равная 100м).

С помощью профиля можно ус­тановить взаимную видимость меж­ду двумя точками, для чего их нуж­но соединить прямой линией. Если построить профили из одной точки по нескольким направлениям, то можно нанести на карту или план участки местности, не видимые с этой точки. Такие участки называют полями видимости.

Вычисление объемов (рис. 23). По карте с горизонталями мож­но вычислить объемы горы и котловины, изображаемых системой горизонталей, замыкающихся в пределах небольшой площади. Для этого формы рельефа делят на части, ограниченные двумя сосед­ними горизонталями. Каждую такую часть можно приближенно принять за усеченный конус, объем которого V= (1/2)(Si + Si+I)h_c, где Si и Si+I – площади, ограниченные на карте нижней и верх­ней горизонталями, являющимися основаниями усеченного ко­нуса; h_c – высота сечения рельефа; i = 1, 2, ..., k – текущий номер усеченного конуса.

Площади S измеряют планиметром (механическим или элект­ронным).

Приближенно площадь участка можно определить, деля его на множество правильных математических фигур (трапеций, тре­угольников и т.п.) и суммируя по площади. Объем V_в самой верх­ней части вычисляют как объем конуса, площадь основания кото­рого равна S_B а высота h – разности отметок верхней точки t и горизонтали, ограничивающей основание конуса:

Рис. 23. Схема определения объема

V_B = (S_B / 3)∙h

Если отметка точки t на карте не подписана, то принимают h = h_c /2. Полный объем вычисляют как сумму объемов отдельных частей:

V = V₁ + V₂ + ... + V_k + V_B,

где k – число частей.

Измерение площадей на картах и планах требуется для реше­ния различных инженерно-экономических задач.

Известны три способа измерения площадей на картах: гра­фический, механический и аналитический.

К графическому способу можно отнести способ разбиения измеряемой площади на простейшие геометрические фигуры и способ, основанный на использовании палетки.

В первом случае подлежащая измерению площадь разделя­ется на простейшие геометрические фигуры (рис. 24.1), пло­щадь каждой из которых вычисляют по простым геометриче­ским формулам и общая площадь фигуры определяется как сумма площадей геометрических частных фигур:

S = S₁ + S₂ + S₃ = (ab/2) + cd + (hf/2)

1 2

Рис. 24. Графические способы измерения

площади фигуры на карте или плане

Во втором случае площадь покрывается палеткой, состоя­щей из квадратов (см. рис. 24.2), каждый из которых является единицей измерения площади. Площади неполных фигур учи­тываются на глаз. Палетка изготовляется из прозрачных мате­риалов.

Если участок ограничен ломаными линиями, то площадь его определяют разбиением на геометрические фигуры. При криво­линейных границах площадь проще определить по палетке.

Механический способ заключается в вычислении площадей на картах и планах с помощью полярного планиметра.

Полярный планиметр состоит из двух рычагов полюсного 1 и обводного 4, шарнирно соединенных друг с другом (рис. 25,а).

Рис. 25. Полярный планиметр:

а – внешний вид; б – отсчет по

счетному механизму

На конце полюсного рычага имеется грузик с иглой – полюс 2, обводной рычаг на одном конце имеет счетный механизм 5, на другом – обводной индекс 3. Обводной рычаг имеет перемен­ную длину. Счетный механизм (рис. 25, б) состоит из цифер­блата 6, счетного барабана 7 и верньера 8. Одно деление на ци­ферблате соответствует обороту счетного барабана. Барабан разделен на 100 делений. Десятые доли малого деления бара­бана оценивают по верньеру. Полный отсчет по планиметру выражают четырехзначным числом: первую цифру отсчитывают по циферблату, вторую и третью – по счетному барабану, чет­вертую – по верньеру. На рис. 25, б отсчет по счетному меха­низму равен 3682.

Рис. 26. Аналитический способ

измерения площади

Установив обводной индекс на начальной точке контура из­меряемой фигуры, берут по счетному механизму отсчет а, за­тем обводным индексом ведут по ходу часовой стрелки по кон­туру до начальной точки и берут отсчет b. Разность отсчетов b – а представляет площадь фигуры в делениях планиметра. Каждому делению планиметра соответствует на мест­ности или плане площадь, называемая ценой деления планиметра Р. Тогда площадь обводимой фигуры опреде­ляют по формуле

S = P(b – a)

Для определения цены деления планиметра измеряют фи­гуру, площадь которой известна или которую можно опреде­лить с большой точностью. Такой фигурой на топографических планах и картах является квадрат, образованный линиями ко­ординатной сетки. Цену деления планиметра Р вычисляют по формуле

P = S_изв / (b – a),

где S_изв – известная площадь фигуры; (b – a) – разность отсчетов в. начальной точке при обводе фигуры с известной площадью

Аналитический способ состоит в вычислении площади по результатам измерений углов и линий на местности. По результатам измерений вычисляют координаты вершин X,Y. Площадь Р полигона 1-2-3-4 (рис. 26) можно выразить через площади трапеций

Р = Р_{1′-1-2-2′} + Р_{2′-2-3-3′} - Р_{1′-1-4-4′} - Р_{4′-4-3-3′} = 0,5{(x₁ + x₂)(y₂ – y₁) + (x₂ + x₃)(y₃ – y₂) –

(x₁ + x₄)(y₄ – y₁) – (x₄ + x₃)(y₃ – y₄)}.

Произведя преобразования, получаем две равнозначные формулы для определения удвоенной площади многоугольника

2Р = x₁(y₂ – y₄) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₄ – y₂) + x₄(y₁ – y₃);

2Р = y₁(x₄ – x₂) + y₂(x₁ – x₃) + y₃(x₂ – x₄) + y₄(x₃ – x₁).

Вычисления легко выполняются на любом микрокалькуляторе.

Точность определения площадей аналитическим способом зависит от точности измеренных величин.

Назад