§ 21. Средняя квадратическая ошибка функции

ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН

В тех случаях, когда пользуются косвенными методами измере­ний, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных ве­личин, так и действий, с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение.

Рассмотрим функцию z самого общего вида от многих независимых величин l₁,l₂,…,l_n:

z = f (l₁, l₂… l_n). (21.1)

С учетом ошибок измерений, можно записать

z +Δz = f (l₁ + Δl₁, l₂ + Δl₂, … l_n + Δl_n).

Поскольку Δl₁, Δl₂, …, Δl_n малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами, содержащими только первые степени ошибок Δl₁, Δl₂, … Δl_n. При разложении в ряд применяются частные производные, так как в уравнении имеются несколько переменных аргументов.

z + Δz = f(l₁, l₂, … l_n) + ( ),

откуда

Δz = . (21.2)

Для удобства записи примем, что

(i = 1, 2, …, n),

тогда уравнение (21.2) примет вид

Δz = K₁Δl₁ + K₂Δl₂ +… + K_nΔl_n, (21.3)

где K₁, K₂, … K_n – постоянные числа.

Возведем уравнение (21.3) в квадрат и разделим на n

Если выполнен ряд измерений, то можно получить n аналогичных равенств, просуммировав которые можно получить уравнение

(21.4)

но так как

[Δl_iΔl_i+1] = 0,

то

,

и учитывая, что

а

то

(21.5)

т.е. квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента. Назад

Раздел 2 геодезические измерения

Глава 5

Измерение длины линий

§ 22. Вводные сведения

Измерения – процесс сравнения какой-либо величи­ны с другой одноименной величиной, принимаемой за единицу.

Геодезические измерения позволяют определять от­носительное взаимное расположение отдельных точек земной поверхности. Геодезические измерения бывают: 1) линейными, в результате которых на местности определяются расстояния между заданными точками; 2) угловыми, определяющими значения горизонталь­ных и вертикальных углов на земной поверхности в дан­ных вершинах между направлениями на некоторые за­данные точки; 3) высотными (нивелирование), в ре­зультате которых определяются разности высот отдель­ных точек, т. е. разности расстояний по нормали от при­нятой отсчетной поверхности до данных точек.

В России для перечисленных видов геодезических измерений используются следующие единицы:

а) в линейных измерениях (горизонтальных и вертикальных) – метр. Эталон длины метра физиче­ски реализован в виде однометрового платино-иридиево­го жезла № 28, хранящегося во Всероссийском научно-ис­следовательском институте метрологии;

б) в угловых измерениях – окружность и ее доли – градус, равный 1/360 окружности; минута, равная 1/60 градуса; секунда, равная 1/60 минуты. В некоторых странах, например в ФРГ, применяется градовая (мет­рическая) система: 1 град, равный 1/400 окружности; 1 минута, равная 1/100 града; 1 секунда, равная 1/100 ми­нуты.

Измерение расстояний производят непосредственным или косвенным методами. При непосредственном методе мерный прибор (измерительную рулетку, землемерную ленту и т. п.) последовательно укладывают в створе изме­ряемого отрезка. При косвенном методе измеряют вспо­могательные параметры (углы, базисы, физические пара­метры и т. п.), а длину отрезка вычисляют по формуле, отображающей зависимость между измеренными вели­чинами и длиной отрезка. Непосредственно длины отрезков измеряются с помощью механических мерных приборов – мерных лент, рулеток, длинномеров и т. д. Косвенные методы реализуются с использованием различных видов дальномеров – оптических, радиофизических, лазерных и т. д.

Точность определения расстояний зависит от метода измерений, применяемого прибора, условий измерений и колеблется от 1:200 до 1:1000 000 измеряемого рас­стояния. Назад