7. Свободные колебания материальной точки. Дифференциальное уравнение движения, его решение, частота и период свободных колебаний.

Свободными называются колебания при отсутствии возмущающих сил ( ). Необходимым условием возникновения свободных колебаний материальной точки является наличие положения равновесия и сил, которые стремятся вернуть точку в положение равновесия при ее отклонении от этого положения. Рассмотрим движение точки в среде без сопротивления ( ).

Дифференциальное уравнение гармонических свободных колебаний имеет вид .

Для интегрирования этого линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение , его корни .

Так как корни мнимые, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Дифференцируя полученное решение по времени, получим второе уравнение для определения постоянных интегрирования .

С учетом начальных условий: , имеем ,

Рассмотрим другой вид записи общего решения, для чего введем следующую подстановку:

, ,

тогда получим .

Свободные прямолинейные колебания материальной точки происходят по гармоническому закону («по закону синуса»).

При этом:

− амплитуда колебаний,

− начальная фаза колебаний,

 циклическая или круговая частота свободных колебаний,

 период свободных колебаний,

− частота колебаний (количество колебаний за одну секунду).

Частота и период свободных колебаний не зависят от начальных условий движения.

8. Влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости точки, на свободные колебания (затухающие колебания). Декремент и логарифмический декремент колебаний.

Рассмотрим движение точки в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием линейной восстанавливающей силы ( ).

В этом случае − дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению, имеет вид: , его корни .

Если (случай малого сопротивления), то корни комплексные и общее решение дифференциального уравнения имеет вид: ,

или в амплитудной форме: .

Множитель указывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Такие колебания называются затухающими.

Период затухающих колебаний ,

Где − период свободных колебаний без сопротивления. Если , то сопротивление практически не влияет на период колебаний .

Рассмотрим влияние сопротивления на изменение амплитуды колебаний. Определяя максимальное отклонение точки от положения равновесия для двух моментов времени, отличающиеся на период , находим ; или

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону геометрической прогрессии со знаменателем , который называется декрементом затухающих колебаний. Модуль натурального логарифма декремента − называется логарифмическим декрементом.

Коэффициент называют коэффициентом затухания.

Так же используется понятие относительный коэффициент затухания .

Движение материальной точки теряет колебательный характер (становится апериодическим) в случае большого сопротивления при .

Если , то корни характеристического уравнения действительные и общее решение имеет вид:

.

При имеем равные действительные корни. В этом случае .