- •Предмет и содержание динамики, основные понятия и определения. Законы Галилея-Ньютона.
- •Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в трех формах.
- •Две основные задачи динамики. Решение первой основной задачи динамики точки.
- •Основное уравнение относительного движения. Переносная и кориолисова силы инерции.
- •Принцип относительности классической механики. Инерциальные системы отсчета. Случай относительного покоя.
- •Свободные колебания материальной точки. Дифференциальное уравнение движения, его решение, частота и период свободных колебаний.
- •Влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости точки, на свободные колебания (затухающие колебания). Декремент и логарифмический декремент колебаний.
- •Где − период свободных колебаний без сопротивления. Если , то сопротивление практически не влияет на период колебаний .
- •Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе без учета сил сопротивления. Амплитуда вынужденных колебаний. Коэффициент динамичности. Явление резонанса. Явление биений.
- •Механическая система, масса, центр масс и его координаты.
- •Осевые моменты инерции точки и системы. Радиус инерции. Моменты инерции простейших тел.
- •Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса - Штейнера).
- •Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил.
- •Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •Теорема о движении центра масс. Следствия.
- •Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы.
- •Теорема об изменении количества движения точки и системы в дифференциальной и интегральной формах. Следствия.
- •Момент количества движения точки и системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела.
- •Теорема об изменении кинетического момента точки и системы относительно центра и оси. Законы сохранения.
- •1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю ( ), то количество движения системы постоянно по величине и направлению.
- •2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю ( ), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной величиной.
- •Элементарная и полная работа силы. Мощность силы.
- •Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
- •Работа силы тяжести, силы упругости. Работа внутренних сил неизменяемой системы.
- •Кинетическая энергия точки и системы. Кинетическая энергия тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях.
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы в трех формах.
- •Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоско - параллельного движений твердого тела.
- •Силовое поле. Потенциал силового поля. Силовая функция и потенциальная энергия. Эквипотенциальные поверхности. Закон сохранения механической энергии.
- •Связи, их уравнения и классификация.
- •Действительное и возможное перемещение. Возможная работа. Идеальные связи.
- •Принцип возможных перемещений.
- •Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей составных конструкций.
- •Сила инерции материальной точки. Главный вектор и главный момент сил инерции при различных случаях движения твердого тела.
- •5.2.1. Сила инерции материальной точки
- •5.2.2. Силы инерции в поступательном движении твердого тела
- •5.2.3. Силы инерции во вращательном движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии
- •Принцип Даламбера для точки системы. Метод кинетостатики.
- •Общее уравнение динамики.
- •Обобщенные координаты. Обобщенные силы и их вычисление. Случай потенциальных сил.
- •Уравнения равновесия и движения в обобщенных координатах.
- •Виды равновесия. Понятие об устойчивости равновесия.
- •Теорема Лагранжа-Дирихле.
- •Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода (без вывода).
- •Уравнения Лагранжа 2 рода для консервативных систем. Кинетический потенциал.
- •Этот результат получается проектированием предыдущего равенства на ось .
- •Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления.
- •Для определения ударного импульса запишем теорему об изменении количества движения за время удара для одного из тел в проекции на направление движения . Откуда
- •При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.
- •Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
Общее уравнение динамики.
Приложим ко всем материальным точкам системы реально действующие на них активные силы и реакции связей. Добавим к данным силам соответствующие силы инерции. Тогда согласно принципу Даламбера получим:
, где .
Умножим скалярно данное уравнение на возможное перемещение точки k
или
.
Записывая аналогичные уравнения для всех точек системы, складывая их почленно и учитывая, что сумма элементарных работ реакций связей для систем с идеальными связями равна нулю, получаем общее уравнение динамики
. (3.60)
Полученное уравнение позволяет сформулировать следующий принцип Даламбера – Лагранжа:
При движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
В аналитической форме общее уравнение динамики имеет вид:
или
Обобщенные координаты. Обобщенные силы и их вычисление. Случай потенциальных сил.
Обобщенными координатами мы будем называть параметры, которые определяют положение материальной системы.
Это могут быть обычные декартовы координаты точек, углы поворота, расстояния, площади, объемы и т.д.
Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных координат, которых достаточно, чтобы полностью и однозначно определить положение всех точек системы, называют числом степеней свободы этой системы.
Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q.
Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q1, q2, q3,…, qk,…, qs. .
Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:
(5)
Так у маятника (рис.71) координаты точки М
есть функции координат l, и , и времени t, если l = l(t).
Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:
(6)
Обобщенные силы
Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Qk.
Вычисление производится по такому правилу.
Чтобы определить обобщенную силу Qk, соответствующую обобщенной координате qk, надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :
(7)
где – перемещение i-той точки системы, полученное за счет изменения k–той обобщенной координаты.
Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:
И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t, отношение можно определять как частную производную . Тогда
(8)
где координаты точек – функции обобщенных координат (5).
Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то
(9)
Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.
Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат
П = П(q1, q2, q3,…,qs).
Замечания.
Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.
Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q] – метр, то размерность
= Нм/м = Ньютон, если [q] – радиан, то = Нм; если [q] = м2, то и т.п.