2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в трех формах.

Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме

ma = F

(1)

где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.

С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке.

Вспомнив, что a = dV / dt = d²r / dt = r'', получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме:

mr'' = F

(2)

В общем случае сила F может быть функцией времени (t), положения (r) и скорости (r') материальной точки. К позиционным силам, зависящим от положения, относятся силы упругости, силы всемирного тяготения, а также силы притяжения или отталкивания тел, имеющих электрические или магнитные заряды. Силы, зависящие от скорости, встречаются при исследовании движения в сопротивляющейся вязкой среде (жидкой или газообразной). Очень редко в природе встречаются силы, зависящие от ускорения. Таким примером может быть электромагнитная сила притяжения в законе Вебера. Следовательно, в подавляющем большинстве случаев

F = F(t, r, r')

(3)

Отметим, что в технике различные силы часто создаются с помощью специальных устройств - амортизаторов, демпферов и т.д., а в системах автоматического управления с помощью датчиков, электронных устройств и исполнительных органов возможно создание сил, являющихся функциями любой производной по времени от перемещения.

Спроектируем (1) на оси инерциальной декартовой системы координат. Зная, что a_x = x''; a_y = y''; a_z = z'', получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме или в проекциях на прямоугольные оси координат:

mx'' = Fx; my'' = Fy; mz'' = Fz

(4)

При координатном способе радиус-вектор точки является функцией координат точки r = r (x, y, z). Поэтому из выражения (3) следует, что

Fx = Fx(t, x, y, z, x', y', z'); Fy = Fy(t, x, y, z, x', y', z'); Fz = Fz(t, x, y, z, x', y', z');

(5)

Спроектируем (1) на оси естественного трехгранника (касательную, главную нормаль и бинормаль). Ускорение лежит в соприкасающейся плоскости и поэтому на бинормаль не проектируется, т.е. a_b = 0. Учитывая, что a_τ = s'', а a_n = V² / ρ = s'² / ρ, получаем дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественной форме или в проекциях на оси естественного трехгранника:

(6)

Напомним, что при естественном способе задания положение точки определяется дуговой координатой s, и поэтому

Fτ = Fτ(t, s, s'); Fn = Fn(t, s, s');

(7)

Дифференциальные уравнения можно составить и в любых других системах координат (полярной, сферической и т.д.), проектируя на эти оси (1), зная как выражаются проекции ускорения в данных осях координат.

Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки.

Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей. Тогда в выражении (1), согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.

Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси F_x, F_y, F_z в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси F_τ, F_n, F_b в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.