3. Две основные задачи динамики. Решение первой основной задачи динамики точки.

Первой или прямой называется задача, в которой заданы масса точки и закон ее движения в декартовых координатах или в естественной форме. Необходимо определить модуль и направление силы, действующей на точку.

Пусть составлены или используются дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной форме. Известно и движение материальной точки: x = x(t); y = y(t); z = z(t).

Согласно уравнениям (4) предыдущего параграфа, дважды дифференцируя законы движения точки, находим проекции ускорения на оси координат: a_x = x''; a_y = y''; a_z = z'', а затем проекции равнодействующей: F_x = mx''; F_y = my''; F_z = z''. Зная проекции равнодействующей на оси прямоугольной системы координат, находим величину равнодействующей:

(1)

а ее направление определяем тремя направляющими косинусами:

(2)

Если составлены или используются дифференциальные уравнения движения в естественной форме и известно движение точки по траектории s = s(t), то, согласно уравнениям (6) п. 1, вначале находим проекции ускорения на естественные оси a_τ = s'' и a_n = s'² / ρ, если радиус кривизны известен, а затем проекции равнодействующей, лежащей в соприкасающейся плоскости, равные: T_τ = ms''; F_n = ms'² / ρ. Модуль равнодействующей и ее направление определяем по следующим формулам:

(3)

где α - угол между равнодействующей F и ее нормальной составляющей F_n.

Для определения всех сил по найденной равнодействующей нужно знать ряд дополнительных условий. Так, например, при решении первой задачи динамики несвободной материальной точки нужно знать направления реакций связей, которые в большинстве случаев можно определить, зная свойства связей. Эти свойства подробно рассмотрены в статике. Если на точку действует одна активная сила, то формулы (1) - (3) полностью определяют вектор этой силы.

Второй или обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение.

4. Решение второй основной задачи динамики точки: дифференциальные уравнения движения, постоянные интегрирования, начальные условия. Зависимость решения от действующих сил (постоянные силы, силы, зависящие от времени, положения, скорости точки).

Зная приложенные к точке силы, а также ее массу, определить ее движение, описываемое кинематическими уравнениями.

Решая задачу в прямоугольной системе координат, когда используются уравнения (4) из предыдущего параграфа, мы, чтобы найти кинематические уравнения движения x = x(t); y = y(t); z = z(t), должны проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений второго порядка. Если система уравнений интегрируется, то множество ее решений будет функциями времени и шести постоянных интегрирования:

x = x(t, C1, C2, ... C6); y = y(t, C1, C2, ... C6); z = z(t, C1, C2, ... C6)

(4)

Чтобы найти единственное решение системы, нам нужно задать или определить по условиям задачи шесть начальных условий. Этими начальными условиями являются координаты и проекции скорости точки в начальном положении в начальный момент времени, который чаще всего принимается за начало отсчета времени, когда t₀ = 0. Начальными условиями будут:

x(0) = x0; y(0) = y0; z(0) = z0; x'(0) = V0x; y'(0) = V0y; z'(0) = V0z

(5)

Для определения всех шести постоянных интегрирования дифференцируем по времени выражение (4), находя еще три соотношения, содержащие постоянные интегрирования:

x' = x'(t, C1, C2, ... C6); y' = y'(t, C1, C2, ... C6); z' = z'(t, C1, C2, ... C6)

(6)

Подставляя в (4) и (6) начальные условия при t = t₀ = 0, получаем систему шести алгебраических уравнений для нахождения постоянных интегрирования. Находя из этой системы уравнений постоянные интегрирования и подставляя их в выражения (4) получаем единственное решение задачи, соответствующее начальным условиям. Заметим, что в ряде случаев дифференциальные уравнения допускают последовательное интегрирование и последовательное нахождение постоянных интегрирования.

Интегрирование дифференциальных уравнений материальной точки сопряжено с определенными математическими трудностями даже при ее движении вдоль одной оси, когда интегрируется одно дифференциальное уравнение второго порядка. Основная трудность состоит в том, что интеграл от элементарной функции может и не быть элементарной функцией, представленной алгебраическими выражениями. Иными словами, не всякий интеграл берется в конечном виде или интегрируется до алгебраических выражений.

Укажем некоторые частные случаи прямолинейного движения материальной точки, когда ее дифференциальное уравнение интегрируется до алгебраических выражений.

1. Когда сила, действующая на материальную точку, является функцией времени F_x = F_x(t) или постоянной величиной при F_x = const.

2. Когда сила является функцией скорости F_x = F_x(x').

3. Когда сила является функцией квадрата скорости F_x = F_x(x'²).

В указанных случаях интегрирование уравнений движения можно осуществить методом разделения переменных, часть таких случаев рассмотрена в примерах 3 - 7.

4. Когда сила является функцией времени, перемещения и скорости F_x = F_x(t, x, x') или функцией перемещения и скорости, когда F_x = F_x(x, x'), или функцией только перемещения при F_x = F_x(x).

В последнем случае точка совершает колебательное движение, которое мы еще подробно рассмотрим. Сейчас отметим, что при колебательном движении силу, действующую на материальную точку, можно выразить в виде

F_x = H(t) - μx' - cx

где μ и c - положительные постоянные (это могут быть, например, коэффициент вязкого трения и коэффициент жесткости пружины). Тогда дифференциальное уравнение материальной точки можно записать как

(7)

и интегрировать его как неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, используя теорию дифференциальных уравнений математики. Когда сила, действующая на точку, зависит только от перемещения и скорости, уравнение можно записать в виде

(8)

и интегрировать его как однородное дифференциальное уравнение, используя теорию дифференциальных уравнений. Интегрирование этих дифференциальных уравнений и других их частных случаев будет подробнее рассмотрено при изучении колебательного движения материальной точки.