27. Связи, их уравнения и классификация.

Связями в аналитической механике называются ограничения, накладываемые на положения и скорости точек несвободной системы материальных точек. Напомним, что физически связь осуществляется в виде различных тел - поверхностей, стержней, шарниров и т.д. С другой стороны любую связь можно описать математическими выражениями.

В аналитической механике связи, естественно, описываются математическими выражениями. Поэтому и классификация связей в ней производится по виду математических выражений, описывающих связи, причем, материальные системы называют по виду связей в системе.

Связи разделяются на удерживающие и неудерживающие. Если связь описывается неравенством, то она называется неудерживающей. На рис. 59,a показана материальная точка, движение которой ограничивается квадратичной параболой, то есть связь описывается неравенством y ax². Если связь описывается равенством, например y = ax² для бусинки надетой на проволоку, изогнутую в виде квадратичной параболы (рис. 59, b), то связь называется удерживающей.

Математическое выражение, описывающее удерживающую связь, является уравнением связи. В общем случае уравнение связи, налагаемой на точку системы, записывается в виде

f(x, y, z, x', y', z', t) = 0

(1)

В зависимости от вида уравнения связи делятся так:

1) геометрические и кинематические или дифференциальные;

2) стационарные или склерономные и нестационарные или реономные;

3) голономные и неголономные.

К геометрическим относятся связи, в уравнениях которых входят только координаты точки и, может быть, время, например уравнение y = ax², для связи на рис. 59,b.

Кинематическими или дифференциальными называются связи, уравнения которых кроме координат содержат и первые производные от этих координат и, может быть, время. Примером такой связи может быть связь, наложенная на колесо, катящееся без скольжения по неподвижной поверхности (рис. 59, d). В этом случае скорость центра колеса и его угловая скорость связаны между собой зависимостью, являющейся уравнением этой связи x'_O = rω, или x'_O - rφ' = 0.

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными или склерономными. Рассмотренные выше связи являются стационарными. Если время явно входит в уравнение связи, то такая связь будет нестационарной или реономной. Например, пусть проволока, на которую надета бусинка, движется вправо с постоянной скоростью V (рис. 59, c). Тогда уравнение связи примет вид y = ax₂ - Vt. Так как время входит в уравнение явно, то эта связь нестационарная.

Механическая система называется склерономной, если на нее наложены только стационарные связи, в противном случае она называется реономной.

К голономным относятся все геометрические связи, а также те кинематические (дифференциальные) связи, которые путем интегрирования могут быть сведены к геометрическим. Так кинематическая связь, наложенная на колесо, является голономной, так как ее можно проинтегрировать и свести к геометрической:

где C - постоянная интегрирования. Кинематическая или дифференциальная связь, уравнение которой не может быть проинтегрировано, называется неголономной.

Механическая система называется голономной, если все ее связи голономные, и неголономной, если хотя бы одна из ее связей является неголономной.

В дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать материальные системы с удерживающими голономными связями, уравнение которых имеет вид

f(x, y, z, t) = 0

(2)