- •Предмет и содержание динамики, основные понятия и определения. Законы Галилея-Ньютона.
- •Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки в трех формах.
- •Две основные задачи динамики. Решение первой основной задачи динамики точки.
- •Основное уравнение относительного движения. Переносная и кориолисова силы инерции.
- •Принцип относительности классической механики. Инерциальные системы отсчета. Случай относительного покоя.
- •Свободные колебания материальной точки. Дифференциальное уравнение движения, его решение, частота и период свободных колебаний.
- •Влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости точки, на свободные колебания (затухающие колебания). Декремент и логарифмический декремент колебаний.
- •Где − период свободных колебаний без сопротивления. Если , то сопротивление практически не влияет на период колебаний .
- •Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе без учета сил сопротивления. Амплитуда вынужденных колебаний. Коэффициент динамичности. Явление резонанса. Явление биений.
- •Механическая система, масса, центр масс и его координаты.
- •Осевые моменты инерции точки и системы. Радиус инерции. Моменты инерции простейших тел.
- •Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса - Штейнера).
- •Внешние и внутренние силы. Свойства внутренних сил.
- •Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •Теорема о движении центра масс. Следствия.
- •Количество движения материальной точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы.
- •Теорема об изменении количества движения точки и системы в дифференциальной и интегральной формах. Следствия.
- •Момент количества движения точки и системы относительно центра и оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела.
- •Теорема об изменении кинетического момента точки и системы относительно центра и оси. Законы сохранения.
- •1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю ( ), то количество движения системы постоянно по величине и направлению.
- •2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю ( ), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной величиной.
- •Элементарная и полная работа силы. Мощность силы.
- •Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
- •Работа силы тяжести, силы упругости. Работа внутренних сил неизменяемой системы.
- •Кинетическая энергия точки и системы. Кинетическая энергия тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях.
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки и системы в трех формах.
- •Дифференциальные уравнения поступательного, вращательного и плоско - параллельного движений твердого тела.
- •Силовое поле. Потенциал силового поля. Силовая функция и потенциальная энергия. Эквипотенциальные поверхности. Закон сохранения механической энергии.
- •Связи, их уравнения и классификация.
- •Действительное и возможное перемещение. Возможная работа. Идеальные связи.
- •Принцип возможных перемещений.
- •Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей составных конструкций.
- •Сила инерции материальной точки. Главный вектор и главный момент сил инерции при различных случаях движения твердого тела.
- •5.2.1. Сила инерции материальной точки
- •5.2.2. Силы инерции в поступательном движении твердого тела
- •5.2.3. Силы инерции во вращательном движении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии
- •Принцип Даламбера для точки системы. Метод кинетостатики.
- •Общее уравнение динамики.
- •Обобщенные координаты. Обобщенные силы и их вычисление. Случай потенциальных сил.
- •Уравнения равновесия и движения в обобщенных координатах.
- •Виды равновесия. Понятие об устойчивости равновесия.
- •Теорема Лагранжа-Дирихле.
- •Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа второго рода (без вывода).
- •Уравнения Лагранжа 2 рода для консервативных систем. Кинетический потенциал.
- •Этот результат получается проектированием предыдущего равенства на ось .
- •Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления.
- •Для определения ударного импульса запишем теорему об изменении количества движения за время удара для одного из тел в проекции на направление движения . Откуда
- •При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.
- •Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
Этот результат получается проектированием предыдущего равенства на ось .
Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления.
Р ассмотрим прямой удар тела массы о неподвижную поверхность (рис. 18.4). Скорость тела до удара , коэффициент восстановления . Определим скорость тела после удара и величину ударного импульса. Из основного уравнения теории удара в проекции на нормаль . При этом , . Тогда Ударный импульс достигает максимального значения в случае абсолютно упругого удара и минимального в случае абсолютно неупругого.
Р ассмотрим косой удар тела массы о гладкую (!) неподвижную поверхность (рис. 18.5). Скорость тела до удара и составляет угол с нормалью к поверхности, коэффициент восстановления . Определим скорость тела после удара и величину ударного импульса. Из основного уравнения теории удара в проекциях на нормаль и касательную , . При этом и .
Тогда , . Кроме того, , где − угол падения, − угол отражения.
Рассмотрим прямой центральный удар двух тел (шаров) массы , движущихся до удара поступательно со скоростями (рис. 18.6). Коэффициент восстановления . Определим скорости тел после удара и величину ударного импульса. Так как отсутствуют внешние ударные импульсы, для системы двух тел количество движения не изменяется .
Кроме того, . Решая полученную систему уравнений, находим:
, .
Для определения ударного импульса запишем теорему об изменении количества движения за время удара для одного из тел в проекции на направление движения . Откуда
.
При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.
Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
Теорема. При неупругом ударе в механической системе потеря кинетической энергии равна кинетической энергии данной системы, если бы она двигалась с потерянными скоростями.
Доказательство. Рассмотрим прямой центральный неупругий удар двух шаров массы и , , − скорости тел до удара, − скорость тел после удара. По следствию из теоремы об изменении количества движения системы
где ось совпадает с направлением движения. То есть .
Кинетическая энергия до удара равна ,
после удара .
Рассмотрим дополнительное соотношение:
.
или .
В случае упругого удара:
.
Р ассмотрим действие ударного импульса на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис. 18.7). Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента механической системы в скалярной форме , или . Откуда .При действии ударного импульса на вращающееся тело угловая скорость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульса относительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той же оси. Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках введем подвижную систему координат, проведя плоскость через центр масс (рис. 18.8), а ось − через точку приложения ударного импульса, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения и об изменении кинетического момента .
При этом
, ,
, .
В проекциях на оси координат:
или
,
,
,
,
,
.
Эти шесть уравнений позволяют определить импульсы ударных реакций и угловую скорость после удара.