Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши

Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Описать протекание демографического процесса во времени (найти закон изменения численности населения с течением времени).

Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:

, или , где .

Переходя к пределу при , получим ,

- дифференциальное уравнение демографического процесса.

Решая это уравнение, получим: .

Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .

Окончательно, имеем .

Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).

42. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение. Примеры.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входит неизвестная функция, независимая переменная и производная функции

. (12.3)

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1. Неполные дифференциальные уравнения 1-порядка.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка (12.3) называется неполным, если оно не содержит в явном виде искомой функции или независимой переменной :

1. (не содержит ) (12.4.1)

Решение: , , откуда .

2. (не содержит ) (12.4.2)

Решение: Удобно искать в виде . т.к. , то ур-е можно записать: , откуда .

Пример. а) .

б) , .

2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

, (12.5.1)

или в виде . (12.5.2)

где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Для нахождения решения (12.5.1) и (12.5.2) преобразовывают таким образом, чтобы функции, зависящие от и были в одной части равенства, а функции, зависящие от и в другой. Затем интегрируем обе части равенства.

(12.5.1) Решение: или

(12.4.2)

Пример. Решить уравнение .

Решение. Разделяя переменные, имеем . Проинтегрируем левую и правую часть равенства . Далее имеем .

, Окончательно имеем .

Уравнения вида , где и - некоторые числа, приводятся к уравниваниям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).

Пример. Решить уравнение .

Решение: Пусть , тогда , откуда , или . Выразим : , и .

Интегрируем: , или , следовательно .

Возвращаемся к первоначальным переменным: или , где .