Методы вычисления определенного интеграла

Теорема. Пусть функции , имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

,

где .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Решение. Пусть , . Тогда (пусть ).

Можно вывести формулу: , интегрируем почленно это равенство

37. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана функция (рис. 10.1).

Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками , где . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим через максимальную из длин отрезков , т.е. .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е.

. (10.1)

- нижний предел, - верхний предел, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.

Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

П усть на отрезке задана неотрицательная функция . Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции на .

Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени , равен .

Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

2. Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .

3. При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный: .

4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей: .

5) Если на отрезке , где , , то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .

Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой равна площади прямоугольника со сторонами и .

38. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть - непрерывная на отрезке функция, а - ее первообразная. Рассмотрим определенный интеграл

, (10.2)

где . При изменении меняется и определенный интеграл (10.2), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования , которую обозначим через :

, (10.3)

Определение. Функция называется интегралом с переменным верхним пределом (с открытым верхним пределом).

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то функция так же непрерывна на .

Теорема 2 (о производной интеграла по верхнему пределу). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции на верхнем пределе, т.е.

.