Тема 5. Аналіз рядів розподілу.

АНАЛІЗ КОНЦЕНТРАЦІЇ, ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ ТА ПОДІБНОСТІ РОЗПОДІЛУ

Показники варіації в аналізі доповнюють розрахунок середніх величин, характеризуючи міру коливань, варіації ознаки в сукупності.

Кількісна оцінка міри ознаки, що коливається, в сукупності виконується за допомогою показників варіації. Розрізняють абсолютні і відносні показники варіації.

Формули для обчислення показників варіації

Статистична характеристика варіації	Формула
	проста	зважена
Розмах варіації
Середнє лінійне відхилення
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Відносний розмах варіації або коефіцієнт осциляції
Відносне лінійне відхилення або лінійний коефіцієнт варіації
Коефіцієнт варіації (V)

Середнє квадратичне відхилення і середнє лінійне відхилення - це узагальнюючі характеристики розмірів варіації ознаки в сукупності, вони виражаються в тих самих одиницях виміру, що й ознака.

При порівняно простих значеннях ознаки використовується спрощений спосіб розрахунку дисперсії і середнього квадратичного відхилення - метод різниці середніх (різниці квадратів):

; .

За не згрупованими даними:

; .

За згрупованими даними:

_{Спосіб моментів:}

,

_{де А – модальна варіанта;}

_{і- величина інтервалу.}

Середня і дисперсія альтернативної ознаки. Треба внести умовні позначення для альтернативної ознаки і побудувати альтернативний ряд розподілу.

Альтернативна ознака набуває значення 1, що означає наявність ознаки; 0 - її відсутність; р - доля одиниць, що володіють даною ознакою, q - відповідно, що не володіють даною ознакою. Тоді середнє значення альтернативної ознаки буде дорівнювати: при цьому p + q = 1, тобто q =1 – p.

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення розраховуються за співвідношенням:

.

Види дисперсій та їх взаємозв'язок. При проведенні групування сукупності, що вивчається, за факторною ознакою (х) варіацію результативної ознаки ( у) можна оцінити за допомогою 3-х видів дисперсії: загальної ( ), міжгрупової ( ), середньої з внутрішньогрупових дисперсій ( ).

Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки під впливом всіх чинників, що викликають цю варіацію.

Міжгрупова дисперсія відображає варіацію результативної ознаки під впливом чинника, покладеного в основу групування.

Середня з внутрішньогрупових дисперсій показує варіацію результативної ознаки під впливом всіх чинників, окрім групувального.

Формули для обчислення дисперсій

Показник	Формула	Примітка
Загальна дисперсія		- частота ознаки
Міжгрупова дисперсія		- середня результативної ознаки за кожною i-ою групою; - частота появи ознаки в i-ій групі ; - номер групи
Середня з внутрішньогрупових дисперсій		- внутрішньогрупова дисперсія або дисперсія i-ої групи

Між видами дисперсій існує взаємозв'язок, називаний правилом складання дисперсій:

= + .

Це правило використовується в статистиці для визначення міри тісноти зв'язку між ознаками, що вивчаються.

Приклад 1

За даними типового завдання, розглянутого у темі «Узагальнюючі статистичні показники», визначаються показники варіації.

Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x	Кількість підпри-ємств f	Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x	xf
100-200	1	150	150	150-510= =-360	129600	129600
200-300	3	250	750	-260	67600	202800
300-400	7	350	2450	-160	25600	179200
400-500	30	450	13500	-60	3600	108000
500-600	19	550	10450	+40	1600	30400
600-700	15	650	9750	+140	19600	294000
700-800	5	750	3750	+240	57600	288000
Підсумок		-	=40800	-	-	= 1232000

Обчисляється таке.

1. Розмах варіації: ; осіб

2. Середнє квадратичне відхилення, зважене звичайним методом за формулою:

.

Розраховується середня за формулою арифметичної зваженої:

.

Необхідні обчислення зробити в таблиці, підставити їх у формули:

осіб;

особи.

Звідси , тобто це дисперсія.

3. Коефіцієнт варіації:

,

.

Середня чисельність робітників на підприємствах регіон ( осіб) відхиляється від чисельності робітників в окремих групах (x) в середньому на 124 особи ( ), або 24,8%. Тобто середня є типовою, а сукупність – якісно однорідною.

Приклад 2

Є аналітичне групування залежності середньої заробітної плати робітників від віку.

Група робітників за віком, років	Число робітни-ків, fi	Середня заробітна плата, грн., у
до 20,0	5	280, 320, 360, 350, 290	1600	320
20,0 – 30,0	8	420, 400, 510, 490, 380, 440, 480,500	3600	450
30 і старше	7	570, 600, 680, 630, 560, 440, 620	4200	600
Усього	20		9400	470

Визначити: 1) загальну, міжгрупову і середню з внутрішньогрупових дисперсій; 2) перевірити правило складання дисперсій.

Загальна дисперсія по заробітній платі розраховується за формулою простої дисперсії: ,

де середня заробітна плата всіх робітників;

грн.,

13450.

Міжгрупова дисперсія:

11700,

де - середня зарплата в i-ій групі, представлена в таблиці.

Середня з внутрішньогрупових дисперсій. Розраховуються дисперсії в кожній групі:

;

2025;

Середня з внутрішньогрупових дисперсій:

.

Правило складання дисперсій: = + ;13450 = 11700 + 1750.

Необхідно звернути увагу на те, що у співставленні варіант і частот виявляється закономірність розподілу. Індивідуальними характеристиками ряду розподілу є абсолютна чисельність одиниць в окремій групі – f, а також відносні величини частот – частості:

Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота, яка визначена шляхом послідовних об'єднань груп і суми їх частот відповідно.

_{Якщо варіаційний ряд інтервальний з нерівними інтервалами, то частотні характеристики таких рядів незрівняні, і в аналізі розподілу використовують щільність розподілу} (ξ) на одиницю частоти (частості):

_{або ,}

розрахунок яких показує, як змінюється щільність зі збільшенням інтервалу.

Форма розподілу залежить від співвідношення частот і значень варіантів ознак. Розподіл може бути одно-, дво- і багатовершинним. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності. Розподіл якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинний, серед яких є симетричні і асиметричні (скошені).

Простою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, медіаною (Ме) та модою (Мо).

При симетричному розподілі характеристики мають однакові значення, тобто

.

При асиметричному розподілі між ними існують певні відмінності:

при правосторонній асиметрії

;

при лівосторонній асиметрії

.

Стандартизовані відхилення або

характеризують напрям і міру скошеності (асиметрію):

А=0 розподіл симетричний;

А>0 правостороння асиметрія;

А<0 лівостороння асиметрія.

Як узагальнюючі характеристики розподілу використовують моменти (m), які бувають:

а) первинні, коли а = 0; б) центральні, коли а = .

Міра при розрахунку моментів визначає порядок моменту (першого, другого і т.д. порядків).

На основі розрахунку центральних моментів третього і четвертого порядків обчислюють для характеристики форм розподілу:

стандартизованный коефіцієнт асиметрії

_,

коефіцієнт ексцесу

_,

де m ₃ и m ₄ - центральні моменти відповідно третього і четвертого порядків.

Якщо:

А>0,5 , асиметрія висока;

А < 0,5 - середня;

А< 0,25 - низька.

Якщо:

Е = 3, розподіл симетричний, близький до нормального;

Е >3 - гостровершинний;

Е <3 - плосковершинний.

Оцінка концентрації розподілу відбувається на основі розрахунку коефіцієнта концентрації:

_.

При К = 0 розподіл рівномірний, К = 1 - при повній концентрації. У інших випадках К буде тим більше, чим більша міра концентрації.

Приклад 3

За даними завдання, розглянутого у прикладі 1, визначається коефіцієнт асиметрії.

Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x	Кількість підприємств f
150	1	-3	9	9
250	3	-2	4	12
350	7	-1	1	7
450	30	0	0	0
550	19	1	1	19
650	15	2	4	60
750	5	3	9	45
Підсумок		-	-	= 152

При розв’язанні прикладу 3 у темі «Узагальнюючі статистичні показники» було визначено: осіб; осіб; . Визначається середнє квадратичне відхилення, застосовуючи метод моментів, за формулою:

.

Для обчислення необхідні обчислення розміщаються в таблиці (А = 450; i = 100):

;

особи.

Визначається коефіцієнт асиметрії за формулою:

.

Ступінь асиметрії оцінюють за значенням Кас, який змінюється від -3 до +3:

при симетричному (нормальному) розподілі , тобто Кас =0;

при більше моди, тобто, наявна правостороння асиметрія;

при менше моди, тобто наявна лівостороння асиметрія.

У даному ряді розподілу наявна незначна правостороння асиметрія.

Завдання 5.1

У результаті 4% вибіркового обстеження комерційних банків щодо розміру прибутку за рік отримано такий розподіл.

Розмір прибутку, млн. грн.	Кількість банків
4,7-5,6	3
5,6-6,5	2
6,5-7,4	4
7,4-8,3	5
більше 8,3	6
Разом	20

За даними вибіркового спостереження визначити:

• середній розмір прибутку банку;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.2

Проведено 5% вибіркове обстеження комерційних фірм щодо витрат на рекламу в газеті «Імідж». Результати представлено у таблиці.

Група фірм за витратами на рекламу, ум. грош. од.	Кількість фірм
до 15	5
15-20	8
20-25	15
25-30	10
30 і більш	2
Разом	40

За даними вибіркового обстеження обчислити:

• середній розмір витрат на рекламу фірмою;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

• Зробити висновки.

Завдання 5.3

Для вивчення тривалості користування кредитом проведене 2% вибіркове обстеження підприємств за методом випадкового безповторного відбору.

Результати обстеження показали такий розподіл підприємств за тривалістю користування кредитом.

Група підприємств за тривалістю користування кредитом, дні	Кількість підприємств
1	2
до 35	4
1	2
35-40	7
40-45	10
45-50	16
більше 50	13
Разом	50

За даними вибіркового спостереження визначити:

• середню тривалість користування кредитом;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.4

Для визначення середньої суми внеску в ощадбанках району, що має 9000 вкладників, проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено у таблиці.

Група вкладів за розміром, тис. грн.	Число вкладників, осіб
до 2	80
2-4	100
4-6	200
6-8	370
8 і більше	150
Разом	900

За даними вибіркового обстеження обчислити:

• середній розмір внеску;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.5

Для вивчення вікової структури робітників фірми за станом на 1 липня було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору.

Результати обстеження показали такий розподіл робітників за віком.

Група робітників за віком, років	Чисельність робітників, осіб
до 20	10
20-30	18
30-40	40
40-50	24
50 років і старше	8
Разом	100

На підставі даних вибіркового обстеження обчислити:

• середній вік робітника;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.6

Для вивчення норм виробітку робітників-верстатників на підприємстві було проведено 10% вибіркове спостереження.

У механічному порядку обстежено 400 робітників, які показали витрати часу на обробку деталі.

Витрат часу на одну деталь, хв.	Чисельність робітників, осіб
до 14	40
14-16	100
16-18	150
18-20	70
20 і вище	40
Разом	400

За даними вибіркового спостереження визначити:

• середні витрати часу на обробку однієї деталі;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.7

З метою контролю якості продукції проведено вибіркове обстеження партії готових виробів. При механічному (безповторному) способі відбору 5% виробів встановлено, що 20 одиниць віднесено до нестандартної продукції, а розподіл вибіркової сукупності за вагою виявився таким.

Вага виробу, г	Кількість зразків, од.
до 300	5
300-320	20
320-340	45
340-360	20
більше 360	10
Разом	100

На підставі вибіркових даних обчислити:

• середню вагу виробу;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.8

Для визначення середнього відсотка виконання норми вироблення на підприємстві була проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено в таблиці.

Відсоток виконання норми виробітку	Чисельність робітників, осіб
до 90	4
90-100	16
100-110	40
110-120	30
120-130	10
Разом	100

За даними вибіркового обстеження обчислити:

• середній відсоток виконання норми виробітку одним робітником;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.9

Для визначення середнього доходу на одного члена сім'ї в районі було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору. Результати обстеження показали такий розподіл населення за доходами на одного члена сім'ї.

Доход, грн.	Питома вага групи в загальній чисельності населення, у %
До 800	20,0
800-1000	25,0
1000-1200	30,0
1200 і вище	25,0
Разом	100,0

За даними вибіркового обстеження визначити:

• середній дохід на одного члена сім'ї;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.10

У результаті вибіркового аналізу 50 проб цукру, який надійшов в торгівельну мережу регіону, встановлена довжина кристалів (мм).

Довжина кристалів, мм	Кількість проведених проб
	1	2	3	4	5
до 1,2	10	8	12	9	15
1,2-1,5	20	22	28	21	35
1,5-1,8	50	40	50	55	25
1,8 і довше	20	30	10	15	25

На основі даних за варіантами обчислити звичайним методом і методом моментів:

• середню довжину кристалів цукру;

• дисперсію;

• середнє квадратичне відхилення;

• коефіцієнт варіації.

Зробити висновки.

Завдання 5.11

За наведеними даними розрахувати види дисперсій за випуском продукції. Перевірити правило взаємозв'язку між дисперсіями.

Підпри-ємство	Форма власності	Валовий випуск продукції, тис. грн.	Підприє-мство	Форма власності	Валовий випуск продукції, тис. грн.
1	Колективна	300	11	Колективна	300
2	Державна	400	12	Приватна	290
3	Державна	250	13	Колективна	320
4	Колективна	270	14	Колективна	280
5	Державна	295	15	Приватна	250
6	Приватна	405	16	Колективна	350
7	Колективна	315	17	Колективна	250
8	Колективна	290	18	Колективна	270
9	Колективна	320	19	Державна	300
10	Приватна	305	20	Державна	250

Завдання 5.12

На основі вихідних даних визначити:

• міжгрупову дисперсію результативного чинника;

• загальну дисперсію.

На основі правила складання дисперсій визначити середню з групових дисперсій.

№ п/п	Витрати на 1 грн. вартості продукції, коп	Фондовіддача, грн.
1	2	3
1	70,5	1,25
2	69,4	1,34
3	80,0	1,20
4	66,8	1,52
1	2	3
5	70,1	1,42
6	65,0	1,50
7	79,2	1,36
8	68,4	1,56
9	70,3	1,40
10	74,6	1,48

ТЕСТИ

1. Який з показників варіації дає найбільш порівнянну абсолютну оцінку варіації ознаки?

1. Лінійне відхилення.

2. Середнє квадратичне відхилення.

3. Коефіцієнт варіації.

2. Дисперсія зважена:

1) ; 2) ; 3) .

3. Середнє квадратичне відхилення зважене?

1. ; 2) ; 3)

4. Середнє квадратичне відхилення просте?

1) ; 2) ; 3) .

5. У яких одиницях вимірюється коефіцієнт варіації?

1. Грошова одиниця.

2. Відсотки.

3. Що й варіююча ознака.

4. Коефіцієнти.

6. Який показник визначається за формулою: ?

1. Загальна дисперсія.

2. Середня з внутрішньогрупових дисперсій.

3. Міжгрупова дисперсія.

4. Коефіцієнт асиметрії.

7. Який показник визначається за формулою ?

1. Загальна дисперсія.

2. Міжгрупова дисперсія.

3. Середня з групових дисперсій.

4. Коефіцієнт асиметрії.

8. Який показник визначається за формулою ?

1. Середнє лінійне відхилення.

2. Розмах варіації.

3. Дисперсія альтернативної ознаки.

4. Середня альтернативної ознаки.

9. Який показник можна визначити за формулою ?

1. Розмах варіації.

2. Дисперсія.

3. Середнє лінійне відхилення просте.

4. Середнє квадратичне відхилення зважене.

10. Вказати формулу спрощеного способу розрахунку дисперсії.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .