Тема 6. Статистичні методи вимірювання взаємозв'язків

Усі явища у суспільному житті існують не ізольовано, а у нерозривному зв'язку, тобто залежать одне від одного. При цьому виділяються факторні (х) і результативні (у) ознаки.

Для кількісних ознак залежності між окремими явищами можуть бути:

• функціональними, коли певному значенню однієї змінної, чиннику (х), відповідає певне значення результативної ознаки (у);

• кореляційними (статистичними), коли із зміною факторної ознаки (х) змінюються групові середні результативної ознаки (у).

Основним моментом у вивченні зв'язків між явищами є встановлення їх суті на основі пізнання якісних характеристик явищ, їх зв'язків.

Наявність або відсутність зв'язків можна виявити, використовуючи:

• метод аналітичних групувань;

• графічний метод;

• побудову та аналіз кореляційних таблиць;

• кореляційний аналіз.

У кореляційно-регресійному аналізі лінії регресії відображають не окремими точками, як в аналітичних групуваннях, а в кожній точці інтервалу зміни факторного значення (х). Лінія регресії зображується у вигляді певної функції: у = f(x), яка називається рівнянням регресії, де у – теоретичне значення результативної ознаки.

Серед безлічі функцій найбільш поширеною у статистичному аналізі є лінійна , що пояснюється її простотою і змістовністю.

Для визначення за даними парної кореляції параметрів лінійної регресії треба розв’язати систему нормальних рівнянь для знаходження параметрів а і b:

.

Інколи для знаходження параметрів а і b використовують спосіб визначників:

;

або ; _.

Після знаходження параметрів (а і b), це вже рівняння не регресії, а кореляційне, яке можна використовувати в прогнозуванні результативної ознаки (у) при певному значенні чинника (х): . Методику розрахунків викладено в таблиці.

№ п/п	Товарооборот, тис. грн. х	Витрати обігу тис. грн. у	х2	ху	у2	Вирівняне (теоретично) значення витрат обігу, тис. грн.
1 2 3 ... 10

Виміряти щільність зв'язку між корелюючими величинами (х и у) можна за допомогою кореляційного відношення (η) і коефіцієнта кореляції (r).

1. Кореляційне відношення застосовне до всіх випадків кореляційної залежності, незалежно від форми цього зв'язку. Загальний вигляд формули кореляційного відношення:

,

де η - кореляційне відношення;

η² - коефіцієнт детермінації.

В основі числення цих показників лежить правило додавання дисперсій, згідно з яким загальна дисперсія (σ²) дорівнює сумі міжгрупової ( ) і середньої з групових дисперсій ( ):

σ²= + ,

де - загальна дисперсія, що характеризує вплив усіх чинників на результативну ознаку (у);

- міжгрупова дисперсія, що характеризує вплив чинника (х), який вивчається, на результативну ознаку (у);

- середня з групових дисперсій, яка характеризує вплив інших чинників на результативну ознаку (у);

- загальна середня;

- групові середні;

n - число даних, які обстежують в цілому;

f_i - число обстежених одиниць у кожній групі;

.

Кореляційне відношення може бути обчислене як:

емпіричне, на основі фактичних даних:

теоретичне, що обчислюється після знаходження параметрів (а і b), тобто після розв’язання функцій і знаходження теоретичних (вирівняних) значень результативної ознаки ( ):

,

де - дисперсія теоретичних значень результативної ознаки, що характеризує міру впливу факторної ознаки (х) на результативну ( ); - теоретичне значення результативної ознаки, вирівняне.

Оскільки:

,

де – залишкова дисперсія, то η_Т може бути обчислено за формулою

і носитиме назву в цьому випадку індексу кореляції.

Чим ближче значення η до 1, тим вища, щільніша залежність між у та х. Чим ближче η до 0, тим залежність менша.

При:

η < 0,3 говорять про слабку залежність між корельованими величинами;

0,3 < η <0,6 говорять про середню щільність зв'язку між х і у;

η > 0,6 говорять про високу (істотну) залежність.

2. Лінійний коефіцієнт кореляції (r), який використовується як показник тісноти зв'язку лише при лінійному зв'язку між х і у.

Його можна обчислити за формулами:

,

де r - коефіцієнт кореляції, значення якого коливається від -1 до +1 і характеризує не лише тісноту зв'язку, але і його напрям (“-” - обернена залежність, “+” - пряма залежність між х і у );

; ; ;

; ;

;

n - кількість ознак.

Для якісної оцінки щільності зв'язку використовують таблицю Чеддока.

Значення коефіцієнта кореляції	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика тісноти зв'язки	слабка	помірна	помітна	висока	дуже висока

З суті щільності зв'язку випливає, що чисельне значення може знаходитися лише в межах ±1. Близькість до 1 коефіцієнта кореляції говорить про близькість до функціональної залежності, а близькість до 0 - про слабку залежність.

Приклад 1

З 12 підприємств отримано дані про річну продуктивність праці робітника (тис. грн.) і озброєність праці основним капіталом (тис. грн. /особу.).

На підставі приведених даних: 1) оцінити щільність зв'язку між показниками за допомогою коефіцієнта Фехнера і коефіцієнта рангової кореляції Спірмена; 2) виявити залежність і тісноту зв'язку між показниками за допомогою парного кореляційно-регресійного аналізу. Зробити висновки.

Вихідні дані та необхідні для розв’язання прикладу розрахунки викласти в табл. 1 та табл. 2.

1. Для визначення коефіцієнта Фехнера розраховуються середні значення ознак:

тис. грн/ос., тис. грн.

Визначають знаки відхилень від середньої, тобто знаки та _, і заносять в таблицю (гр. 3 та 4), а потім підраховують число співпадань і не співпадань знаків відхилень (гр. 5). Тоді: . Коефіцієнт, який дорівнює 0,5, свідчить про наявність прямої і помірної залежності між продуктивністю та капіталоозброєністю праці.

Для визначення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена ( ) проранжовують в порядку зростання факторну і результативну ознаки, тобто визначають R_х и R_у і заносять їх у гр. 6 и 7 таблиці 1. Потім розраховують і заносять у гр. 8 таблиці. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена буде дорівнювати:

.

Щільність зв'язку між аналізованими показниками пряма і досить тісна.