Умовні позначення і формули розрахунку узагальнюючих характеристик генеральної і вибіркової сукупностей

Характеристика (показник)	Для сукупності
	генеральна		вибіркова
Чисельність одиниць сукупності	N		n
Чисельність частини одиниць сукупності, які володіють даними ознаками, що вивчаються	M		m
Середнє значення ознаки (для кількісних характеристик)	, де		, де
Дисперсія загальна (для кількісних ознак)	σ2=		σ2в=
Середнє квадратичне відхилення (для кількісних ознак)
Частість, доля одиниць сукупності, які мають ознаки, що вивчаються (для якісних ознак)	P =	ω =
Частість, доля одиниць сукупності, які не мають ознаки, що вивчаються (для якісних ознак)	q =(1-p)	(1-ω)
Дисперсія долі альтернативних ознак	σ2= pq = p (1-p)	σ2в = ω (1-ω)

Помилками репрезентативності називаються розбіжності між середніми величинами або частками ознаки вибіркової і генеральної сукупностей:

( ) – помилка для середньої; ( ) – помилка для частки тобто . Помилки репрезентативності можуть мати випадковий або систематичний характер.

Враховуючи, що вибіркові показники бувають випадковими, то і помилки вибірки носять випадковий характер, тобто можуть вагатися за своїм абсолютним значенням. Залежність величини помилки вибірки від обсягу вибіркової сукупності і міри ознаки, що коливається, знаходить вираження у формулах середніх помилок вибірки ( ) для середньої ( ) і частки ( ). Докази і виведення цих формул надаються в курсах математичної статистики. Формули середніх помилок вибірки наведено в таблиці.

Формули середніх помилок вибірки для середньої і частки

Помилка	Формула
	повторний відбір	безповторний відбір
Середня помилка вибірки для середньої
Середня помилка вибірки для частки

Позначення для символів, наведених формул у таблиці:

– середня помилка вибіркової середньої;

– середня помилка вибіркової частки;

– дисперсія вибіркова для кількісних ознак;

) – дисперсія вибіркової частки для альтернативних ознак;

– %, доля вибірки, тобто частка відібраних одиниць з генеральної сукупності;

( ) – %, частка одиниць, які залишилися не відібраними у генеральній сукупності. Цей співмножник присутній у формулах при безповторному відборі одиниць. Оскільки вираз ( ) завжди менше 1, то помилки вибірки при безповторному методі значно менші, ніж при повторному.

Проте, у кожному конкретному випадку розбіжність між вибірковими і генеральними показниками може бути більше або менше середньої помилки ( ). Тому в статистиці обчислюють граничну помилку вибірки (Δ) і розглядають її як t – кратну , тобто Δ = t . Межі цієї можливої помилки вибірки розраховуються на основі теорії П. Чебишева, Я. Бернуллі і Л. Ляпунова, що дозволяють визначити вірогідність того, що гранична помилка вибірки не перевищить t – кратну середню помилку.

Найчастіше користується величинами відповідних один одному значень t і р, узятих з таблиці.

р	0,683	0,911	0,928	0,942	0,954	0,964	0,972	0,979	0,983	0,987	0,977
t	1	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	3,0

Наприклад, з вірогідністю 0,683 можна стверджувати, що гранична помилка буде не більша середньої, тобто μ; з вірогідністю 0,954 - не більше 2 μ тощо. Детальніше це означає, що якби було зроблено не одну вибірку даного об'єкта, а 1000, то у 683 випадках вибіркова середня відхилялася б від генеральної не більш ніж на μ, і у 954 випадках вибіркова середня відхилялася б від генеральної не більш ніж на 2 μ тощо.

Формули розрахунку граничних помилок вибірки наведено в таблиці.