60. Задачи приводящие к понятию производной.

Задача 1. Определить в момент времени t1 скорость прямолинейно движущейся точки М, если в каждый момент времени известно расстояние S от точки О, лежащей на линии движения, т.е известен закон изменения расстояния со временем в виде:

Решение: В момент времени t1 точка находится на расстоянии S1 = S(t1), а в любой момент t2 > t1 на расстоянии S2 = S(t2) > S1, ( рис. 23)

Общеизвестно, что средняя скорость Vср точки на отрезке М1М2 = S2 – S1 будет

(21)

Обозначив S2 – S1 = S — приращение пути и t1 – t2 = t — приращение времени ( — греческая буква дельта выражает слово "приращение"), получим

(22)

т.е. средняя скорость прямолинейно движущейся точки всегда равна отношению приращения пути к своему приращению времени.

Аналогично рассуждая, мы к этому же заключению придем и для случая t2 < t1, т.е. S2 < S1. Для того, чтобы определить скорость в момент времени t1, т.е. V = V(t1) — мгновенную скорость, будем неограниченно уменьшать t за счет стремления t2 к t1, т.е. t1 t2, что тоже самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что тогда S2 будет стремиться к S1 и Vср будет стремиться к V, т.е. при t 0, S2 S1 и Vcp V.

Все это на языке пределов можно выразить следующим образом:

или

(23)

т.к. моменты времени t1 и t2 выбраны произвольно, то формулу (23) словами можно выразить так: мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки в любой момент времени есть предел отношения приращения пути к своему приращению времени, стремящемуся к нулю.

Задача 2. Определить момент времени t1 ускорение прямолинейно движущейся точки М, если в каждый момент известна скорость V этой точки, т.е. известна функция

V = V(t). (24)

Решение: Пусть в момент времени t1 точка движется со скоростью V1 = V(t1) и в любой момент времени t2 — со скоростью V2 = V(t2). Общеизвестно, что среднее ускорение прямолинейно движущейся точки будет

(25)

Обозначив V2 – V1 = V — приращение скорости и t2 – t1 = t — приращение времени, получим:

(26)

т.е. среднее ускорение прямолинейно движущейся точки всегда равно отношению приращения скорости к приращению времени, за которое это приращение скорости получено. Для того, чтобы определить ускорение в любой момент времени t1, т.е. а = а(t1) — мгновенное ускорение, будем неограниченно уменьшать t за счет стремления t2 к t1, т.е. t2 t1, что тоже самое, сделаем t бесконечно малой величиной. Очевидно, что тогда V2 будет стремиться к V1 и аср будет стремиться к а, т.е. t0, V2V1 и асра. Все это на языке пределов можно выразить следующим образом:

или

(27)

т.к. момент времени t1 и t2 выбраны произвольно, то формулу (27) словами можно выразить так: мгновенное ускорение прямолинейно движущейся точки в любой момент времени есть предел отношения скорости к своему приращению времени, стремящемуся к нулю.

Сравнивая аналогичные выражения (23) и (27) и их словесный смысл, можно видеть их схожесть. Т.к. S = S(t) и V = V(t) есть функции своего аргумента t, то в общих случаях мы приходим к пределам отношений приращений функций к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Установив это, рассмотрим задачи 1 и 2 с общих позиций для любой функции, могущей быть и скоростью, и ускорением, и чем угодно еще.