26. Разложение векторов по ортам координатных осей.

Выберем на оси Ox вектор i = (1,0,0), на оси Oy – вектор j = (0,1,0), на оси Oz – вектор k = (0,0,1) .

Векторы i, j, k, называют ортами координатных осей

Вектор лежит на оси Ox и его длина равна x , поэтому

а1х + b1у + с1z + d1=0

а2х + b2у + с2z + d2=0

А налогично Сумма этих векторов дает вектор :

Это выражение называется формулой разложения вектора по ортам координатных осей.

27. Действия над векторами, заданными проекциями.

Пусть векторы а = (а_х; а_y; а_z) и b = (b_х; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат OX, OY и OZ или что тоже самое:

а = а_хi + а_yj + а_zk

b = b_хi + b_yj + b_zk

28. Система координат на плоскости

Под системой координат на плоскости понимают с пособ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу мас­штаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения  О - началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ох), другую — осью ординат (осью Оу).

Координатами точки Μ в системе координат Оху называ­ются координаты радиуса-вектора OM. Если OM=(x;y), то координаты точки Μ записывают так: М(х;у), число x называется абсциссой точки М, у — ординатой точки Μ.

29. Основные приложения метода координат на плоскости:

- Расстояние между двумя точками

Расстояние d между точками A(x₁;y₁) и В(х₂;y₂) плоскости Оху равно:

- Деление отрезка в данном отношении

формулы деления отрезка в данном отношении:

В частности, при λ = 1, т.е. если AM = MB, то они примут вид:

х=(х1+х2)/2 у=(у1+у2)/2

Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ — говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом (λ≠1, т. к. в противном случае

АМ/МВ = -1, т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

- Площадь треугольника

30. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением ненулевых векторов а1 и а2 называется число:

(а1, а2) = |а1| |а 2| cos(а1^а 2)

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1) а1а2=а2а1

2) (λа1)а2=λ(а1а2)

3) а(b1+b2)= аb1+аb2

Геометрические свойства:

1) а1┴а2 <=> а1а2 =0 (условие перпендикулярности векторов)

2) если φ=(а1^а 2), то 0≤ φ <π/2<=> а1а2 >0 и π/2< φ≤ π<=> а1а2<0

Если векторы а1 (х1,у1,z1) и а2 (х2,у2,z2) представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно:

а1а2 =х1х2+у1у2+z1z2

31. Векторное произведение двух векторов и его свойства

Векторным произведением вектора а1 на вектор а2 называется вектор, обозначаемый символом [а1,а2] (или а1×а2), определяемый следующими тремя условиями:

1) длина вектора [а1,а2] равна площади параллелограмма, построенного на векторах а1 и а2, т.е. ‌‌‌‌‌‌‌׀[а1,а2]‌‌‌‌‌‌‌׀= |а1| |а 2| sin(а1^а 2)

2) вектор [а1,а2] перпендикулярен плоскости векторов а1 и а2

3) упорядоченная тройка а1, а2, [а1,а2] правая

Алгебраические свойства векторного произведения:

1) [а1,а2]= - [а2,а1]

2) [λа1,а2]= λ[а1,а2]

3) [а1+а2, b]= [а1, b]+ [а2, b]