65. Дифференцирование сложных, неявных и параметрически заданных функций.

Сложная функция обозначается f(g(x))

Производная сложной функции равна:

f´(g(x))·g´(x)

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.

При нахождении функции, заданной параметрически, сначала нужно найти х´t и y´t

а затем y´x= y´t/х´t

66. Производные высших порядков.

f ´(x) как функция имееет производную, тогда (f ´(x))´ производная от производной первого порядка, т.е. производная 2-го порядка и обозначается f ´´(x)

Аналогично, производная третьего порядка f ´´´(x).

Производные четвертого, пятого и т.д. порядков обозначаются с помощью римской нумерации.

67. Дифференциал функции.

Главная, линейная относительно Δх, часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

dy=f ´(x)dx

68. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка. Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка. Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала n -1-го порядка. Имеют место следующие формулы:

69. Теорема Ролля о дифференцировании функции

Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная gў обращается в нуль gў(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.

Отсюда g(c+Dx) - g(c)

 x  0,    x > 0 и g(c+Dx) - g(c)

 x  0,   x < 0 Переходим к пределу и получаем одновременно g(с)  0 и g(с)  0, следовательно, производная внутри отрезка в 0 не обращается y=1(x²)^1/3

70. Теорема Коши

g(b)-g(a) h(b)-h(a)

=

gў(c) hў(c)

Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство

1. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции g(x)-g(a)-(h(x)-h(a))Q,

2. где Q=(g(b)-g(a))/(h(b)-h(a))

71. Теорема. Лагранжа.

Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство g(b)-g(a)=gў(c)(b-a)

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции g(x)-g(a)-(x-a)Q,

где Q=(g(b)-g(a))/(b-a)