72. Теорема. Лопиталя.

Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g(x)/h(x) при x a, то существует и lim g(x)/h(x) при x a 

причем lim g(x)/h(x)= lim g(x)/h(x) при x a 

73. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Пусть функция f(x) имеет в точке x₀ все производные до n-го порядка включительно. Тогда ее можно представить в виде

).

Эта формула носит название формулы Тейлора и она является одной из важнейших формул математического анализа. Слагаемое называется остаточным членом. Записанная в виде

она называется рядом Тейлора.

Остаточный член в форме Пеано имеет вид . Практического значения эта формула не имеет, но очень полезна пр теоретическом исследовании.

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

,

где x₀ < c< x. Она используется для количественной оценки погрешности представления функции f(x) формулой Тейлора.

74. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.

Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора:

 

76. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Наибольшее из всех тех значений f(x), которые она принимает на интервале (a;b), называется наибольшим значением и обозначается max f(x).

Наименьшее из всех тех значений f(x), которые она принимает на интервале (a;b), называется наименьшем значением и обозначается min f(x).

Непрерывная функция принимает наименьшее значение либо на конце отрезка, либо в точке минимума.

Непрерывная функция принимает наибольшее значение либо на конце отрезка, либо в точке максимума.

77. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции f(x) называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале (a;b) если он расположен выше любой касательной на этом интервале.

График функции f(x) называется выпуклым (вверх) на интервале (a;b) если он расположен ниже любой касательной на этом интервале.

Точки графика, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

78. Асимптоты кривых.

Асимптотой называется прямая, в которой неограниченно приближен график функции.

Различают вертикальные, наклонные, горизонтальные.

Наклонную асимптоту график может пересекать,а вертикальную – никогда не пересекают.

79. Общая схема исследования функции:

1) найти область определения функции

2) исследовать график функции на асимптоты

3) исследовать график на монотонность

4) исследовать график на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

5) если требуется, рассчитать конкр.точки

6) по результату исследования построить график

7) дополнительные исследования(в случае необходимости) четность, нечетность

8) точки пересечения с осями координат

9) промежутки знакопостоянства

10) периодичность

75. Условия возрастания и убывания функции. Условие экстремума.

Непрерывная функция y=f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Непрерывная функция y=f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Теорема 1.

Е сли дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастает, то f ´(x)≥0, при любом х из (a;b)

Теорема 2.

Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция убывает, то f ´(x)≤0, при любом х из (a;b)

Теорема 3 (достаточное условие).

Если f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f ´(x)>0, при любом х из (a;b), то f(x) возрастает.

Точка х0 – точка максимума, если для всех точек ε-окрестностей х0, за исключением самой точки f(x)< f(x0)

Точка х0 – точка минимума, если для всех точек ε-окрестностей х0, за исключением самой точки f(x)>f(x0)

Значение функции в точке максимума, называется максимумом функции.

Значение функции в точке минимума, называется минимумом функции.

Условие экстремума

Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f ( x )  и производная  f’  существует в этой точке, то  f’ ( x₀ ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x ³ равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то  x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x₀  - точка минимума.