80. Понятие вычислительного эксперимента.

В широком смысле, под вычислительным (компьютерным) экспериментом называют новую технологию научного исследования, которая осуществляется с помошью компьютера.

В узком смысле – создание и изучение математических моделей, исследование объекта с помощью вычислительных средств.

В отличии от обычного эксперимента вычислительный эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его математической моделью.

81. Погрешности вычисления.

Все методы решения математических задач можно разделить на точные и численные.

В точных методах решение в виде формул, однако заменяя на конкретные данные значения переменных, не всегда расчеты по формуле могут быть произведены точно.

В этом случае, ответ получили в виде приближенного значения.

Такое решение содержит погрешности вычисления.

Решение полученное численным методом, это решение в процессе которого более сложные формулы заменены более простыми.

В результате этой замены, этот результат также является приближенным и содержащую погрешность.

Абсолютной погрешностью называется модуль разности Δа=| аточное - ǎприближенное|

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к точному значению (%), тогда ε= Δа/а × 100%

82. Постановка задачи о решении уравнения

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 группы:

1. алгебраические

2. трансцендентные

Алгебраическими называют уравнения содержащие только рациональные функции, т.е. многочлены и отношение многочленов.

Трансцендентные – содержащие трансцендентные функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, e^x, a^x, lnx, log_ax и т.д.

Не всегда можно составить формулу для вычисления корней. В таких случаях применяются численные методы, в результате корень с определенной погрешностью.

87. Приближенное вычисление производных.

Производной функции y(x), называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии что последнее стремиться к нулю.

83. Метод половинного деления

Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых.

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой . Если (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c] (Рис. 3.8), либо на отрезке [c, b] (Рис. 3.9)

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

84. Метод Хорд и метод Ньютона.

М етод хорд. Идея метода состоит в том, что на отрезке [a,b] строится хорда стягивающая концы дуги графика функции y=f(x), а точка c пересечения хорды с осью абсцисс считается приближенным значением корня

c = a - (f(a)Ч (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Ч (a-b)) / (f(a) - f(b)).

Следующее приближение ищется на интервале [a,c] или [c,b] в зависимости от знаков значений функции в точках a,b,c

x* О [c,b] , если f(с)Ч f(а) > 0 ;

x* О [a,c] , если f(c)Ч f(b) < 0 .

Если f '(x) не меняет знак на [a,b], то обозначая c=x₁ и считая начальным приближением a или b получим итерационные формулы метода хорд с закрепленной правой или левой точкой.

x₀=a, x_i+1 = x_i - f(x_i)(b-x_i) / (f(b)-f(x_i), при f '(x)Ч f "(x) > 0 ;

x₀=b, x_i+1 = x_i - f(x_i)(x_i-a) / (f(x_i)-f(a), при f '(x)Ч f "(x) < 0 .

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиент в случае многомерного пространства.