7. Формулы логики высказывания
1)закон отрицаний отрицания: ā=а
2)коммуникативные законы: аΛв=вΛа аUв=вUа
3)ассоциативные законы: (аΛв)Λс=аΛ(вΛс) (аUв)Uс=аU(вUс)
4)дистрибутивные законы: (аΛв)Uс=(аUс)Λ(вUс) (аUв)Λс=(аΛс)U(вΛс)
5)законы иденпотенции: аUа=а аΛа=а
6)законы Д.Моргана: аUв= āΛв
7)законы поглощения: (аΛв)Uа≡а (аUв)Λа≡а
8)закон склеивания: (аΛв)U(аΛв)=а
9)закон вычеркивания: (аΛв)Uā≡ вΛā
10)закон истинны и лжи: аΛИ≡а аΛЛ≡Л аUИ≡И аUЛ≡а
11)закон исключения третьего: āUа≡И
12)закон противоречия: аΛā≡Л
8. Понятие и представление комплексных чисел.
Число вида х+iy, где х,у – действительные числа, i – мнимая единица, называется комплексными числами.
Множество всех комплексных чисел обозначается символом С.
Комплексные числа изображаются в виде точки(х;у) и в виде радиус вектора.
Длина вектора называется модулем комплексного числа
9. Действия над комплексными числами.
Суммой комплексных чисел а+вi и с+id называется комплексное число (а+с) + i(в+d)
Разностью комплексных чисел а+вi и с+id называется комплексное число (а-с) + i(в-d)
Умножением комплексных чисел а+вi и с+id называется компл число (ас-вd)+(аd+св)i
Разностью комплексных чисел а+вi и с+id называется ас+вd/с²+d² + св+аd/с²+d²
10. Матрицы.
Матрицей называется таблица чисел содержащих m строк одинаковой длинны(или n столбцов одинаковой длинны)
Е – единичная матрица
Две матрицы равны, если они одного размера и элементы этих матриц равны между собой.
Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В.
Произведением матриц А и В одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны произведению строк матрицы А и столбцов В
11. Определители
Определитель – это число записанное определенным образом:
а11 |
а12 |
... |
а1n |
а21 |
а22 |
... |
а2n |
а31 |
а32 |
... |
а3n |
12.Невыражденные матрицы.
Матрица называется невыражденной если она квадратная и детерминант не равен нулю.
13. Обратная матрица.
Матрица Аˉ¹ называется обратной к матрице А, если ААˉ¹= Аˉ¹А=Е
Аˉ¹=1/detA · A٭
14. Ранг матрицы.
Ранг матрицы – это порядок определителя порожденный матрицей А, отличного от нуля, в то время как все определители более высокого порядка равны нулю.
Ранг исходной матрицы равен матрицы полученной из исходной, путем элементарных преобразований.
15. Системы линейных уравнений. Основные понятия.
а11х1 + а12х2 + … а1nхn=b1
а21х1 + а22х2 + … а2nхn=b2
………………………..
аm1х1 + аm2х2 + … аmnхn=bm
где аij – называется коэффициентом системы
хij – неизв.
bj – свободный член
Систему можно заменить матрицей, элементы которой равны коэффициентам системы.
16. Порядок решения систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-копелли
Решить систему уравнений – значит выяснить является ли она совместной и найти её единственное или общее решение.
Порядок решения систем линейных уравнений:
1) составить основную и расширенную матрицы, найти их ранги.
Если rangA ≠ rangĀ => решений нет, система несовместна
rangA = rangĀ=n=единственное решение
rangA = rangĀ=r<n => бесконечео много решений
2) выделить базисный минор, с помощью которого решен вопрос о ранге матрицы, установить соответствующие строки в столбцы.
Переменные которые соответствуют столбцам минора называют базисными.
Все остальные переменные – свободные.
Составить систему, которая соответствует выбранным строкам, оставить базисные в левой части, свободные – в правой.
Из полученных равенств выразить базисные элементы.
Полученная после этого совокупность определяет общее решение.
3) чтобы получить частные решения этой системы надо придать свободным переменным свободные значения.
Теорема Кронекера-копелли:
Если rangA= rangĀ, то система совместна, т.е. имеет решения.
где Ā – расширенная матрица системы.
17. Решение невыражденных систем. Формулы Крамера.
а11х1 + а12х2 + … а1nхn=b1
а21х1 + а22х2 + … а2nхn=b2
………………………..
аn1х1 + аn2х2 + … аnnхn=bn
detA≠0
18. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса заключается применения последовательности элементарных операций к расширенной матрице, для того чтобы добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.
19. Системы линейных однородных уравнений
|
Однородная система АХ=0 всегда совместна, так как имеет тривиальное решение Х=0.
Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r=rangA<n (при m=n это условие означает, что detA=0)
Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.
20. Основы работы с MathCAD
MathCAD — математически ориентированные универсальные системы. Помимо собственно вычислений они позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С их помощью можно не только качественно подготовить тексты статей, книг, диссертаций, научных отчетов, дипломных и курсовых проектов, они, кроме того, облегчают набор самых сложных математических формул и дают возможность представления результатов, в изысканном графическом виде.
К средствам новых версий MathCAD относятся настройка под любой мало-мальски известный тип печатающего устройства, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. А в версию MathCAD 7. 0 PRO включены эффективные средства цветового оформления документов, создания анимационных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими мощными математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем — интегрированные системы.