- •Лекция 1.
- •Основные сведения о рядах.
- •Лекция 2. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
- •Лекция 3
- •Признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Признак Лейбница
- •Лекция 4 Теорема Абеля
- •Ряд Тейлора, ряд Маклорена
- •Лекция 5.
- •Лекция 6 Дифференциальные уравнения.
- •Лекция 8.
- •Дифференциальные уравнение приводящиеся к однородным.
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Лекция 9.
- •Дифференциальные уравнения второго порядка.
- •Лекция 10.
- •Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Лекция 11. Решение примеров.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейное однородное уравнение.
- •Лекция 12. Решение примеров:
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 13. Решение примеров:
- •3) Правая часть имеет вид:
- •4) Правая часть уравнения имеет вид:
- •Лекция 14.
- •Задача коши и кривая задача для уравнения второго порядка.
- •Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.
- •15 Лекция Решение примеров.
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Лекция 1.
Числовые ряды.
Основные сведения о рядах.
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения
Числа u1, u2…,называются числами ряда, член un- -общим или n-м членом ряда, сумма n первых членов ряда u1 + u2 + u3 + … + un + … = S, или = S. называется n-й частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть
Число S называется суммой ряда, если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Отбрасывание или переписывание к ряду конечного числа членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.
Примеры:
Покажем, что ряд:
сходится.
Возьмем сумму n- членов ряда.
Слагаемые этой суммы могут быть представлены в виде:
, ,
Поэтому,
( ) +…+( )=1
Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен 1.
Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.
Установим, сходится или расходится ряд:
1-1+1-1+….+ +…=
Последовательность его частичных сумм имеет вид , 0 и значит, не расходится ни к какому пределу, поэтому данный ряд расходится.
Рассмотрим ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии.
Числовая сумма этого ряда при q≠1 имеет вид
Отсюда,
1)Если |q|<1, то , т.е ряд сходится и его сумма S=
Например, при а=1,q=
S=
2) Если |q|>1, то , т.е. ряд расходится.
3) При q=1 ряд принимает вид а+а+а+…+а+…
В этом случае т.е. ряд расходится.
4) При q=-1 ряд принимает вид а-а+а-а+…, т.е. , при n-четном и , при n-нечетном. Следовательно, не существует и ряд n .
Таким образом, ряд является сходящимся при |q|≤1 и расходящимся при Если |q|≥1
Необходимое условие сходимости ряда:
Если ряд сходится, то предел его общего члена при n равен нулю
При нарушении необходимого условия сходимости ряда, т.е. если предел общего члена ряда при n не существует или если он не равен 0, ряд расходится.
Заметим, что если предел общего члена ряда равен 0, то вывод о сходимости или расходимости ряда можно сделать только после дополнительного исследования.
Гармонический ряд
Этот ряд расходится.
Обобщенный гармонический ряд
Где а- некоторое число.
Этот ряд сходится, если а>1 ,
расходится, если а≤1
Пример:
Числовой ряд
3+ является расходящимся, если его общий член не стремиться к нулю.
Лекция 2. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами.
Пусть имеется 2 числовых ряда с положительными членами:
а1 + а2 + а3 + … + аn + …;(1)
в1 + в2 + в3 + … + вn + … (2)
где аn >0, вn >0, для всех n N
для таких рядов справедливы следующие признаки сходимости.
Признак сравнения:
Пусть общие члены рядов (1) и (2) (с положительными членами)связаны неравенства аn ≤ вn для всех n N.
Тогда:
Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд (2);
Если ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).
При применении признака сравнения обычно в качестве эталонных рядов рассматривают следующие ряды:
Сумма членов геометрической прогрессии
Гармонический ряд
Обобщенный геометрический ряд.
Примеры:
Числовой ряд
Является расходящимся, так как его общий член вn больше общего члена аn
положительны.
Имеем:
Поскольку ряд сходится, то по признаку сравнения сходится исходный ряд.
Признак Даламбера:
Пусть для числового с положительными члены предел отношений последующего члена к предыдущему равен 2.
Если 2<1, ряд сходится
Если 2>1, ряд расходится
Если 2=1, ряд может сходится, и расходиться.
=
Числовой ряд
расходится, для него
По признаку Даламбера ряд расходится.
Для числового ряда
имеем:
Признак Даламбера не позволяет выяснить вопрос о сходимости ряда.
Однако этот ряд является расходящимся по необходимому признаку,
т.к.
Предельный признак сравнения:
Пусть и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов.
Тогда ряды одновременно сходятся и расходятся.
Пример:
Для числовых рядов
и предел отношения общих членов равен Поскольку первый ряд, как обобщенный гармонический , сходится, то по предельному признаку сравнения сходится и второй ряд.
Интегральный признак сходимости:
Пусть все члены числового ряда положительны и не возрастают
а1≥ а2≥ …≥аn …
Пусть существует непрерывная невозрастающая функция y= f (x). Определенная при всех х≥1 такая, что F(1)= а1, f(2)= а2, f(n)= аn
Тогда для сходимости числового ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл
Пример:
Для а>1 члены обобщенного гармонического ряда положительны и не возрастают. Рассмотрим функцию f(х)= ( ).
Для х≥1 эта функция непрерывна и не возрастает, кроме того F(n)= , т.е. для нее выполнены все условия интегрального признака сходимости.
Несобственный интеграл является сходящимся при а>1. Действительно неопределенно сходимости несобственного интеграла имеем:
Поэтому обобщенный гармонический ряд при а>1 является сходящимся.