Лекция 13. Решение примеров:

f(x)= е^λх P_n(x)

y ^~ = Q_n (x) x^r е^λх

Пример:

Найти общее решение уравнения.

y``-4y`+3y= xе^х

Решение:

Характеристическое уравнение: k²-4k+3=0

Имеет корни: k₁=1, k₂=3.

Значит, решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Y=C₁е^х + C₂е^3x

В правой части этого уравнения- произведение многочлена первой степени на показательную функцию е^λх,при λ=1. Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k₁= λ=1,то r=1. В данном случае P_n(x)=х- многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид y ^~ = (Ах + В) xе^х = (Ах² + Вx)е^х. Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем:

-4Ах +2А-2В=х

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства

-4А=1, 2А-2В=0. Находим А= -1/4, В= -1/4. Подставляя найденные значения А и В в выражение для y ^~ получаем частное решение данного уравнения y ^~ = -(1/4) (х²+x) е^х . Общее решение имеет вид: у = y ^~+Y= C₁е^х + C₂е^3x -(1/4) (х²+x) е^х .

3) Правая часть имеет вид:

f(x)=a cosβx+b sinβx, где a,β,b- известные числа. Тогда частное решение y ^~ надо искать в виде:

y ^~ = (A cosβx+Bsinβx) х^r, где А и В- неизвестные коэффициенты, а r- число корней характеристического многочлена, равное iβ.

Пример:

Найти общее решение уравнения: y``+y= sinx.

Решение:

Характеристическое уравнение k²+1=0 имеет корни k₁=i, k₂= -i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения Y=C₁ cosx + C₂ sinx.

В правой части равенства тригонометрическая функция sinx, т.е. а=0, b=1, В=1. Так как iβ=i, корень характеристического уравнения, то r =1 и частное решение надо искать в виде: y ^~ =(Acosβx+Bsinβx) х. Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем 2(-Acosβx+Bsinβx)= sinx, откуда А= -1/2, В=0. Таким образом, частное решение y ^~ = -1/2 xcosx-общее решение уравнения у = y ^~+Y= C₁ cosx + C₂ sinx -1/2, xcosx.

Пример:

Найти общее решение уравнения: y``+y= sin2x.

Решение: Данное уравнение отличается от предыдущего только тем, что β=2. Т.к. iβ= i2 не является корнем характеристического уравнения, то r=0 и частное решение следует искать в виде:

y ^~ = Acos2x+Bsin2x, Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем -3Acos2x-3Вsin2x)= sin2x. откуда А= 0, В= -1/3, т.е. частное решение y ^~ = -1/3 sin2x, общее решение уравнения,

у = y ^~+Y= C₁ cosx + C₂ sinx-1/3 sin2x.

4) Правая часть уравнения имеет вид:

f(x)=  е^αx[P_n(x) cosβx+ P_m(x) sinβx], где P_n(x), P_m(x)- многочлен степеней  n и m – соответственно,

Тогда частное решение неоднородного решения следует искать в виде:

y ^~= х^r е^αx[Q₁(x) cosβx+ Q₂(x)sinβx], где Q₁(x),  Q₂(x) – многочлены степени  S=max{n,m}r- краткость корня  α+iβ характеристического многочлена  F(x)=0

Пример:

Найти общее решение уравнения: y``- y= 3е^2х cosx

Решение: Здесь характеристическое уравнение k²-1=0 имеет корни k₁=1, k₂= -1. Общее решение однородного уравнения такого: Y=C₁е^х + C₂е^-х

В правой части уравнения- произведенные многочлена нулевой степени, показательной и тригонометрической функций, так что P_n(x)=3, P_m(x)=0, S=0. Число α+ iβ=2+i1 не являются корнем характеристического уравнения, поэтому r=0 и частное решение ищем в виде: y ^~ = (Acosx+Вsinx) Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем (2А+4В)cos x+(2B-4A)sin x=3 cosx. Приравнивая коэффициенты находим, 2А+4В=3, 2B-4A=0, откуда А=3/10, В=3/5, таким образом, частное решение

y ^~= е^2х(3/10 cos x+3/5 sin x)

Общее решение: у = y ^~+Y= е^2х(3/10 cos x+3/5 sin x)+ C₁е^х + C₂е^-х.