Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

1. Пусть у=у(t)- объем производства некоторого производства , реализованный к моменту времени t. Предположим . что цена на данный товар остается постоянной ( в пределах рассмотренного промежутка времени). Тогда функция у=у(t) удовлетворяет условию y`=ky.

15 Лекция Решение примеров.

Пусть y=y(t)- объем производства. Тогда функция y=y(t) удовлетворяет условию, y`=ky.

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид:

y =y₀ e^k(t-to) .

Уравнение описывает такой рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции и т.д.

Выяснить истечении, какого промежутка времени объем реализованной продукции удвоится по сравнению с первоначальным, если значение коэффициента пропорциональности k в уравнении равно 0,1.

На сколько % следует увеличить норму инвестиций, чтобы промежуток времени необходимого для удвоения объема реализованной продукции уменьшился на 20%.

Решение:

t ₀=0, k= 0,1, у=2y₀=> 2y₀= y₀ e ^0,1t . (2)

t =10ln2≈ 6,93

t ₁= 0,8t => k₁= k/0,8=1,25 k => норму инвестиций следует увеличить на 25%. Предположение о неизменности цен на практике оказывается справедливым лишь для узких временных интервалов. р- убывающая функция от объема у реализованной продукции (р=р(у)) => y`= m lp (y)y (3).

Уравнение вида (3) описывает также рост народонаселения при наличии ограничений для этого роста, динамику развития эпидемий, процесс распространения рекламы.

Пример: Изменение численности населения горнорудного поселка с течением времени

y`=

y=y(t), t- время (лет)

Население 500 человек.

Через 3 года = ? человек.

Решение:

или

y(0)=500 => C ≈256,4

y(3)=

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

В тех случаях, когда для уравнения y`=f(x,y) требуется решить задачу Коши при начальном условии у|_х=х0 решение можно искать с помощью ряда Тейлора:

, где

у(х₀)= у₀

у`(х₀)=f(х_0,у₀)

А дальнейшие производные находят последовательным дифференцированием исходного уравнения подстановкой в результат дифференцирования вместо х,у,у`… значений х<sub>0,</sub>у<sub>0,</sub>у`₀. И всех остальных найденных последующих производных.

Пример 1:

Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение:

у`= х²+у².

у(0)=1.

Взяв шесть первых членов разложения, отличных нуля.

Из уравнения начальных условий находим

у`(0)= 0²+1²=1.

Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем:

у<sup>``</sup>=2x+2yy`, у<sup>```</sup>=2+2y`<sup>2</sup>+2yy``, y^IV=6y`y``+2y```, y<sup>V</sup>=6y``<sup>2</sup>+ y`8y```+2y y^IV

Полагая х=0 и используя значения у(0)=1, у` (0)=1, последовательно находим:

у`` (0)=2, у``` (0)=8, y(0)^IV=28, y(0)^V=144.

Исходное решение имеет вид:

Пример 2:

у``= х+у², у(0)=0, у`(0)=1.

Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.

Дифференцируем у``= х+у², имеем

у^```=1+2yy`

y^IV=2yy``+ 2y`²

y^V= 2y```+6y`y``

y^VI=2уу^IV+8y`y```+6``²

При х=0 получаем:

у(0)=0, у` (0)=1

у`` (0)=0, у``` (0)=1, y(0)^IV=2, y(0)^V=0, y(0)^VI=16

20