Лекция 14.
Пример:
По данным
характеристического уравнения и правой
части f(x)
записать частное решение
линейного неоднородного уравнения:
=3+i2,
=3-
i2,
f(x)=
= =-3, f(x)=
=1, =-3, , f(x)=
=1+i2, =1- i2, f(x)=
=2+
,
=2-
,
, f(x)=
Решение:
Имеем α=3,β=2, Pn(x)=0, Pm(x)=8, S=0 так как число α+iβ=3+i2- корнь характеристического уравнения, то r=1. Поэтому
(
)Имеем α=-3,β=1, Pn(x)=0, Pm(x)=2х,m=1, S=1 . число α+iβ=-3+i- не является корнем характеристического уравнения, то r=0. Поэтому
(
]Имеем α=1,β=3, Pn(x)=1, Pm(x)=0,n=1, S=1 . число α+iβ=1+i3- не является корнем характеристического уравнения, то r=0. Поэтому
(
]Имеем α=1,β=2, Pn(x)=1, Pm(x)=-3, S=0 . число α+iβ=1+i2- является корнем характеристического уравнения, то r=1. Поэтому
Имеем α=2,β= , Pn(x)=
,
Pm(x)=х,
n=3,
S=3
. число α+iβ=2+i
-
является корнем характеристического
уравнения, то r=1.
Поэтому
.
Отметим
, что все рассуждения этого параграфа
справедливы для линейного уравнения
первого порядка . Рассмотрим, например
уравнение первого порядка с постоянными
коэффициентами . Это уравнение часто
встречается в технологических примерах
+
ay=b,
где а и б- постоянные . Находим общее
решение однородного уравнения
+
ay=0.
Составляем характеристическое уравнение
к+а=0 , к=-а. решение однородного уравнения
будет
=C
.
Ищем частное решение У*
Неоднородного
уравнения в форме У*=В. Подставляя в
уравнение
+
ay=b
получаем aB=b,
B=
.
Итак , У*=
Общее
решение уравнения
+
ay=b
будет у=
у*
или у= C
Задача коши и кривая задача для уравнения второго порядка.
Для
однородного определенного решения
дифференциального уравнения второго
порядка необходимо задать два условия
. Чтобы найти неопределенные постоянные
и
.
Здесь возможны два случая:
Задача Коши, когда согласно теореме , в одной точке
,
задаются значения искомой функции и
её производной- два начальных условия.Кривая задача, когда в конечных точках интервала решение задается по одному условию , например
,
.
Пример
. Найти
решение уравнения Y``-5y`+4y=8.
Удовлетворяет краевым условиям x=0,
y=1,x=
,y=2.
Решение
характеристическое уравнение данного
дифференциального уравнения имеет вид:
.
Его корни вещественные и различны:
=1,
=4.
Следовательно общее решение однородного
уравнения имеет вид:
.
Исходя из вида правой части , будем
искать частное решение данного
неоднородного уравнения в виде константы
у=С. Подставляя это решение в уравнение
, получаем С=2. Отсюда следует , что общее
решение неоднородного уравнения имеет
вид: у(х)=
)+2.
Для отыскания частного решения , соответствующего данным краевым условиям , подставим это решение в эти краевые условия . Получим систему линейных уравнений относительно производных постоянных и .
+ =-1
2
=0
Из
этой системы находим :
;
=
.
Отсюда решение, данное краевой задачи
как частное решение дифференциального
уравнения, проходящее через точки (0,1)
и (
,=2),
имеет вид: у=2-
.