Лекция 3

Обобщенный гармонический ряд: при а>1 является сходящимся.

Признак Коши

Пусть для числового с положительными членами существует предел

Тогда:

1. Если , то ряд сходится

2. Если >1, то ряд расходится

Пример:

Для числового ряда с положительными членами найдем предел:

По признаку Коши ряд сходится.

Знакопеременные ряды

Знакопеременным называется числовой ряд , содержащий бесконечно много положительных слагаемых и бесконечно много отрицательных слагаемых.

Пример:

Числовой ряд является знакопеременным.

Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

|а₁|+|а₂|+…+|а_n|=

Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд, составленный из модулей его членов.

Условно сходящимся называется сходящийся знакопеременный ряд, для которого ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример:

Знакопеременный ряд : абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется числовой ряд а₁- а₂+ а₃-…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…= , где a_n>0 для всех n N.

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд сходится если:

а₁> а₂ > …>a_n и

Пример:

Знакочередующийся ряд

удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится, однако ряд из модулей его членов является гармоническим и расходящимся. Таким образом, исходный ряд является условно сходящимся.

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида:

С₀+ С₁х + С₂х²+ С_nхⁿ +…= ,

Где С_n – некоторое число, х - переменная.

Коэффициентами степенного ряда называются числа С₀, С_1,… С_n….

Пример:1

1+ х + х² + х³ +… + хⁿ +…= - степенной ряд, все его коэффициенты равны 1.

При каждом конкретном значении переменной Х степенной ряд становится числовым рядом, к которому применимы все понятия и результаты главы о числовых рядах, в частности, понятие абсолютной сходимости.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной Х, при которых соответствующий числовой ряд сходится.

Степенной ряд в предыдущем примере является бесконечной суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем Х.

Его частичная сумма сумма имеет конечный предел.

при |х| <1. Поэтому областью сходимости исходного ряда является интервал (-1;1)

Лекция 4 Теорема Абеля

1. Если степенной ряд сходится при некотором значении х=х₀≠0, то он сходится абсолютно при всех значениях х, таких что |х|<|х₀|

2. Если степенной ряд расходится при х=х₁ , то он расходится при всех значениях х, таких что |х|>|х₁|

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R 0, при |х|<R ряд сходится, а при |х|> R ряд расходится. Вопрос о сходимости при х= требует дополнительных исследований.

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R 0, что ряд сходится при |х|<R и расходится |х|> R.

Радиус сходимости степенного ряда при c_n≠0 находится по формуле:

R =

a )

-x₀ 0 x₀ x

Сходимость

b )

-x₀ 0 x₀ x

Расх. Расх.

Пример 1

Рассмотрим ряд ,

Следовательно, данный ряд сходится на интервале (-1,1.) Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках х=

При х=1 получаем гармонических ряд: Который сходится в силу признака Лейбница. Таким образом данный ряд сходится в любой точке полуинтервала [-1,1) и расходится вне его.

Пример 2

Рассмотрим ряд расходиться на всей числовой прямой, кроме точки х=0, т.к. его радиус сходимости

Пример 3

Рассмотрим ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой, т.к. его радиус сходимости

а₀+ а₁х +а₂х²+ а₃х³+…+а_nхⁿ +…= (1)

В ряде случаев рассмотрим степенные ряды более общего вида

а₀+ а₁₍х-а)+а₂₍х-а)²+ а₃₍х-а)³+…+а_n(х-а)ⁿ +…=

Ряд (2) приводится к виду (1) заменой переменной

(х-а)= t

( а₀+ а₁t+а₂t²+ а₃t³+…+а_ntⁿ +…=

Если функция f(x) является суммой ряда (2), то в этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в ряд по степеням (х-а)

Определим радиус и интервал сходимости для ряда (2):

Если при |х-а| < R, ряд сходится, а при |х-а| > R расходится, то R- радиус сходимости, (a-R, a+R)- интервалы сходимости.