1. Множества, подмножества. Основные определения. Числовые множества.

Множеством называют совокупность определенных объектов, которые мы можем воспринимать в нашем воображении.

Объекты из которых составлено множество, называют элементами множества.

Если множество содержит бесконечно много элементов, то оно называется бесконечным.

Множества, которые не содержат ни одного элемента, называются нуль-элементным или пустым.

Если х является элементом множеств Аи В, то такой элемент называют общим элементом множеств.

Если любой элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А.

2. Операции над множествами. Диаграммы Венна

Пересечением множеств А и В, называется множества элементов х, которые принадлежат множествам А и В.

Объединением множеств А и В, называется множества элементов х, которые принадлежат или множеству А, или множеству В.

Дополнением множества А до множества В, называется множество элементов, которые принадлежат В, но не принадлежат А.

Разность множеств В\А это множество всех тех элементов, которые принадлежат В, но не принадлежат А.

3. Отношения. Свойства отношеий.

А × В Прямым произведением, декартовым произведением, называется множество пар (х,у), где х – элемент А, у – элемент В.

Отношением на множествах А1, А2…Аn называется любое подмножество любого подмножества прямого произведения А1, А2…Аn

Р = {(x1,х2…хn)| x1 Є А1, x2 Є А2…xn Є Аn}

Если n=1, то отношение – унарное.

Если n=2, то отношение – бинарное.

(x1,х2…хn) – координаты или компоненты отношения

Обратное отношение – это множество пар у,х которые принадлежат р

Композицией (супер позицией) (Р◦Q) двух отношений Р и Q – это множество пар х, z, таких что х Є А, z Є С, y Є В и (х;у) Є Р, (у;z) Є Q

Свойства:

1. р◦рˉ¹ ≠ рˉ¹◦ р

2. (рˉ¹)ˉ¹ = р

3. (Р◦Q)ˉ¹ = Рˉ¹ ◦ Qˉ¹

4. (Р◦Q) ◦ R = Р ◦ (R◦Q)

4. Отношение эквивалентности. Разбиения. Отношение порядка

Отношение р называется рефлексивным , если для любого х € А пара (х;х) Є Р

Отношение р называется иррефлексивным , если для любого х € А пара (х;х) ¢ Р

Отношение р называется симметричным, если из условия (х;у) Є Р =>(у;х) Є Р

Отношение р называется антисимметричным, если из условия (х;у) Є Р =>(у;х) Є Р х=у

Отношение р называется транзитивным, если из условия (х;у) Є Р =>(у;х) Є Р (х;z) Є Р

Отношение которое является рефлексивным, симметричным, транзитивным называется эквивалентностью.

Разбиением множества А, называется совокупность попарно пересекающихся множеств А1, А2…Аn, где А1 U А2 U… Аn = А

Если отношение р антисимметрично и транзитивно, то его называют отношением порядка.

6. Высказывания и операции над ними.

Высказывание – это утверждение относительно которого мы можем сказать истинно оно или ложно.

Операция «отрицание» является унарной, остальные – бинарными.

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, если оба высказывания истинны.

Конъюнкция – это логическое умножение.

Дизъюнкция двух высказываний ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкция – это логическое сложение.

Импликация ложно тогда и только тогда, если высказывание звучит следующим образом «если истина то ложь».

Импликацию, эквиваленцию и отрицание можно представить с помощью 3 операций: отрицание, дизъюнкцию, конъюнкцию