21. Основные алгебраические структуры

Алгебраические структуры – это множество с определенными на нем операциями.

Для алгебраических структур справедливо свойство коммуникативности (А+В=В+А) И ассоциативности ((А+В)+С=А+(В+С))

Сумма всех натуральных чисел (N) – это натуральное число

Произведение всех натуральных чисел (N) – это натуральное число

Итак, множество N с операциями сложение и умножение – это алгебраическая структура.

22. Понятие векторного пространства.

Множество V элементов x, y, z, … называется векторным пространством над числовым полем Р, если для каждых двух элементов x, y из V определена сумма х+уЄV и для каждого хЄV и каждого числа α из Р определено произведение αxЄV, причем справедливы следующие равенства:

1) х+у= у+х

2) (х+у)+z=х+(y+z)

3) существует такой элемент 0ЄV, называемый нулевым, что х+0=х для каждого х из V

4) для каждого х из V существует такой элемент –х, называемый противоположным к х, что х+(-х)=0

5) 1·х=х, 1 из Р, для всех х из V

6) α(βх)= (αβ)х, для всех α, β из Р и х из V

7) (α+β)х=αх+βх, для всех α, β из Р и х из V

8) α(х+у)=αх+αу, для всех α из Р и х, у из V

Элементы векторного пространства называются векторами.

2 3. Лине́йные отображе́ния.

Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение, удовлетворяющее условию линейности

f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

для всех и .

24. Векторы. Основные понятия Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.

В математической литературе векторы обозначаются обычно одним из следующих способов: .

Два вектора называются равными, если соответствующие отрезки параллельны, имеют одинаковую длину и направление.  

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой.   

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c - его диагональю:

Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника:

Р азностью векторов a и b называется сумма а+(-b).

Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами.

Произведением вектора a на вещественное число α, называется вектор b, определяемый условием

1) |b|= |α|·|a| и, если |b| ≠0, то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если a>0, и противоположно, если a<0

Произведение вектора a на число обозначается αa

25. Проекция вектора на ось.

Проекцией точки А на ось, называется число, соответствующее основанию перпендикуляра АВ, опущенного на данную ось из точки А.

Проекцией вектора АВ на ось х, называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций.

Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число.

Проекции вектора на координатные оси равны коодинатам вектора.