47. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

1) Эллипсоид х²/а² + у²/b² + z²/с² = 1

2) Гиперболоид:

Однополостный х²/а² + у²/b² - z²/с² = 1

Двуполостный х²/а² + у²/b² - z²/с² = -1

3) Конус второго порядка х²/а² + у²/b² - z²/с² = 0

4) Параболоид:

Эллиптический х²/а² + у²/b² = z

Гиперболический х²/а² - у²/b² = z

5) Цилиндр второго порядка

Эллиптический х²/а² + у²/b² = 1

Гиперболический х²/а² + у²/b² = -1

Параболический у²=2рх, р>0

48.Числовая последовательность и ее предел.

Совокупность чисел х1, х2, … хn называется последовательностью ({xn})

Каждое число этой последовательности, называется членом последовательности

Действия над последовательностями:

1) Произведением числа m на последовательность {xn}, называется последоват {mxn}

2) Суммой последовательностей {xn} и {уn}, называется последовательность {xn + уn}

3) Разностью двух последовательностей – это последовательность {xn - уn}

4)Произведение двух последовательностей - это последовательность {xnуn}

5) Отношение двух последовательностей - это последовательность {xn/уn}, где у≠0, при любом n

Число а, называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε, найдется такой N, что для всех n>N выполняется равенство: |xn - а|< ε

49. Свойства сходящихся последовательностей.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящей.

Свойства:

1) любая сходящая последовательность имеет только один предел.

2) любая сходящая последовательность ограничена

3) разность и сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью

4) произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность

5) если lim уn≠0, то {xn/уn} – сходящаяся последовательность

50. Теорема Вейерштрасса. Число е. Натуральные логарифмы.

Теорема Вейерштрасса – Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Число, являющееся пределом последовательности, принято обозначать символом е и называют числом Эйлера.

е=2,71828…- основание натуральных логарифмов

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

(ln x)´= 1/x

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

51. Предел функции в конечной точке и в бесконечности

Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Если предел функции при существует и равен , пишут

52. Бесконечно малые и бесконечно большие функции их свойства.

Функция α(х) называется бесконечно малой при х→х0, если lim α(х) = 0

Бесконечно малые α(х) и β(х) называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов lim β(х)/α(х) или lim α(х) /β(х) при х→х0

При lim α(х) /β(х)=С при х→х0

Если С≠0, то α(х) и β(х) называют бесконечно малыми одного порядка

Если С=1, то α(х) и β(х) называют эквивалентными и пишут α ~ β

Если С=0, то α(х) называют бесконечно малой более высокого порядка

Функция α(х) называется бесконечно большой при х→х0, если lim α(х) = бесконечность

Так же как и для бесконечно малых.