85. Метод итерации для решения уравнения.
Метод итераций. Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение
|
f(x)=0. |
(1) |
где f(x) – непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением
|
x=j (x). |
(2) |
Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число
|
x1=j (x0). |
(3) |
Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x0 число x1 получим новое число x2=j (x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел
|
xn=j (xn-1) (n=1, 2,...). |
(4) |
Если эта
последовательность – сходящаяся, т.е.
существует предел
,
то, переходя к пределу в равенстве (4) и
предполагая функцию j (x)
непрерывной, найдем:
или
x =j (x). (5)
Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности.
86. Решение систем уравнений.
Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменной. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
Решение системы уравнений
Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.
88. Численное нахождение экстремума.
Экстремумом функции называют значения минимума, максимума функции, значение аргумента соответственно называют точкой минимума, точкой максимума.
Чтобы их найти, необходимо найти y´(x), найти точку в которой y´(x)=0 и изучить характер смены знаков производной при переходе через эту точку.
Если при переходе через эту точку меняется знак
с + на – то имеем точку максимума
с - на + то имеем точку минимума
При численном дифференцировании мы не знали функции y´(x), можем лишь по таблице значений или по интерполяционному графику увидеть отрезки на которых производная меняет знак. Таким образом при численном дифференцировании мы узнаем отрезок, на котором содержится точка экстремума и видим какого именно экстремума, чтобы найти саму эту точку, нужно либо применить метод секущих, итераций, касательных, либо применить более совершенные методы: фибоначи, метод золотого сечения.
89. Кривизна - (матем.), величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) от прямой (плоскости). Отклонение дуги MN кривой L от касательной МР в точке М можно охарактеризовать с помощью т. н. средней кривизны kcp этой дуги, равной отношению величины ее угла между касательными в точках М и N к длине Ds дуги MN:
.
Предельное значение средней кривизны при стремлении точки N кривой к точке М, т. е. при Ds®0, называется кривизной k кривой L в точке М:
.