32. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов а1, а2, а3 называется число [а1,а2]а3

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) если V – объем параллелепипеда, построенного на векторах а1, а2, а3, то:

[а1,а2]а3	V, если тройка (а1, а2, а3) правая
	-V, если тройка (а1, а2, а3) левая

2) для того чтобы три вектора а1, а2, а3 были компланарны, необходимо и достаточно выполнения условия [а1,а2]а3 =0

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.

[а1,а2]а3 =[а3,а2]а1=[а3,а1]а2

33. Понятие уравнения линии на плоскости.

Линия на плоскости – это множество точек, обладающих некоторым, только им присущим геометрическим свойством. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение f(x, y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии. Переменные x и y называют текущими координатами точек линии.

Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим.

34. Уравнение прямой на плоскости.

Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) Ах+Ву+С=0 – общее уравнение прямой

2) А(х-х0)+В(у-у0)=0 – уравнение прямой, проходящей через точку М0 (х0, у0) перпендикулярно нормальному вектору n(А,В)

3) (х- х0)/l=(у- у0)/m - прямой, проходящей через точку М0 (х0, у0), параллельно направляющему вектору q(l,m) каноническое уравнение прямой

4) х=х0+lt

y=y0+mt tЄ(-бесконечности;+бесконечности)

параметрические уравнения

5) х/а + у/b = 1 – уравнение прямой в отрезках

6) хcosα+ycosβ-p=0 нормальное уравнение прямой, где cosα и cosβ – направляющие косинусы нормального вектора n, а р – расстояние от начала координат до прямой.

35. Прямая линия на плоскости. смотри выше!

36. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Расстояние от точки М0(х0у0) до прямой ах+bу+с=0 находится по формуле:

d=‌׀‌‌‌aх0+bу0+с‌׀/√a²+b²

Тангенс угла между прямой l1,заданной уравнением у=к1х+β1, и l2, заданной уравнением у=к2х+β2, определяется формулой:

tgφ=(k2-k1)/1+k1k2

Условие параллельности прямых имеет вид:

k1=k2, a1/a2= b1/ b2

Условие перпендикулярности прямых выражается в виде:

k2=-1/k1, a1a2+b1b2=0

37. Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости сумма расстояний которой, до 2-х заданных точек, называется фокусами, является величиной постоянной, большей чем расстояние между фокусами

х²/а² + у²/b² =1

Выпуклость эллипса характеризует эксентриситет.

ε=с/а если фокусы лежат на оси Ох

ε=с/b если фокусы лежат на оси Оу

38. Гипербола

Гиперболой называют множество точек плоскости модуль разности которых до 2-х данных точек называют фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

х²/а² - у²/b² =1

ε=с/а > 1

39. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (дирректриссы).

у²=2рх

40. Уравнение плоскости в пространстве.

А(х-х0) + В(у-у0)+С(z-z0)=0 – это уравнение является уравнением плоскости, оно первой степени, это уравнение называется уравнением плоскости через данную точку перпендикулярную нормальному вектору.

Это уравнение можно привести к виду:

Ах-Ах0+Ву-Ву0+Сz-Сz0=0

41.

42. Уравнение прямой в пространстве.

Это общие уравнения прямой в пространстве.

(х-х0)/m=(у-у0)/n=(z-z0)/p

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой

х=mt+x0

y=nt+x0

z=pt+z0

Это параметрические уравнения прямой

43. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые могут быть пересекающимися, скрещивающимися и параллельными.

m1/m2=n1/n2=p1/p2

Условие параллельности прямых

Условие пересечения прямых

m1	n1	p1
m2	n2	p2
х2-х1	y2- y1	z2- z1

44.Взаимное расположение прямой и плоскости

Условие параллельности:

Am+Bn+Cp=0

Условие перпендикулярности:

а/m=b/n=c/p

45. Цилиндрической поверхностью(цилиндром) называется поверхность, инвариантная относительно преобразований параллельного переноса Т, определяемых любым вектором, коллинеаоных некоторому вектору q(l, m,n).

F1(x+l, y+m, z+n)=0

F2(x+l, y+m, z+n)=0

46. Поверхностью вращения называется поверхность, инвариантная относительно поворотов R(φ, u) на любой угол φ вокруг некоторой фиксированной оси u. Эта поверхность может быть получена вращением вокруг оси u кривой, получавшейся в сечении поверхности любой плоскостью, проходящей через ось симметрии.

Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, инвариантная относительно преобразований гомотетии H(k, M0) с произвольным коэффициентом k и центром в некоторой точке M0(х0, у0, z0), называемой вершиной конуса.