С плоскостью общего положения

Порядок выполнения задач темы 3.2:

а) перечертите каждую задачу на отдельный формат;

б) введите поочередно две вспомогательные секущие плоскости (см. рисунки 16 и 17);

в) постройте общие для плоскостей точки.

Тема 4 «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Задачи по теме 4 выдаются на четвертой неделе, после проведения практического занятия 4, с учетом знаний, полученных на лекциях [1, 2, 5, 6, 12, 13].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) теорема о проецировании прямого угла;

б) проекции перпендикуляра к плоскостям общего и частного положения;

в) взаимно-перпендикулярные плоскости и прямые.

4.1 Теория к выполнению индивидуального задания

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали той же плоскости.

На рисунке 19 показано построение проекций перпендикуляра, опущенного из данной точки А на плоскость ΔВСD. Направление проекций перпендикуляра определялось главными линиями DЕ и DF плоскости треугольника. Так, горизонтальная проекция перпендикуляра проведена под прямым углом к одноименной проекции горизонтали DЕ, а вторая проекция перпендикуляра расположена под прямым углом к фронтальной проекции фронтали DF.

Рисунок 19 ‑ Построение проекций перпендикуляра,

опущенного из данной точки А на плоскость ΔВСD

Перпендикуляр к плоскостям частного положения также является прямой частного положения (рисунок 20). Рассмотрим несколько вариантов частного положения плоскостей:

а) если плоскость фронтально проецирующая, то перпендикуляр к ней является фронталью. Точка врезания сразу определяется на фронтальной плоскости (рисунок 20а);

б) если плоскость является горизонтально проецирующей, то перпендикуляр является горизонталью. Точка врезания видна на горизонтальной плоскости проекций (рисунок 20б);

в) если плоскость является плоскостью уровня, то перпендикуляр является проецирующей прямой (рисунок 20в).

Рисунок 20 ‑ Перпендикуляр к плоскостям частного положения

4.2 Примеры выполнения задач по теме 4

4.2.1 Определение расстояний от точки до плоскости

Задача 4.1. Определить расстояние от точки D до плоскости АBC.

Дано: координаты точек А, В, С, D.

Расстояние от точки до плоскости определяется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки D на эту плоскость – DК.

План решения:

этап 1 – через точку D проведите прямую, перпендикулярную к плоскости АВС (рисунок 21а,б);

этап 2 – постройте точку К – точку пересечения перпендикуляра с плоскостью АBС (рисунок 22а);

этап 3 – определите натуральную величину отрезка DК (рисунок 22б).

Построения:

Этап 1. Известно, что горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости общего положения перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали h₁ этой плоскости, его фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали – f₂.

Строим в плоскости АBC горизонталь h₂ // Ох и фронталь f₁ // Ох и проводим из горизонтальной проекции точки D₁ перпендикуляр к h₁, а из фронтальной проекции точки D₂ проводим перпендикуляр к f₂ (рисунок 21б)

а б

Рисунок 21 – Построение проекций перпендикуляра

к плоскости АВС из точки D

Этап 2. Находим К ‑ точку пересечения перпендикуляра с плоскостью АBС, для чего через фронтальную проекцию перпендикуляра проводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Р (на эпюре показан ее фронтальный след Р_V), построим линию пересечения плоскости Р_V с плоскостью треугольника ABС → 1-2 (1₁2₁; 1₂2₂), отмечаем горизонтальную проекцию точки K → K₁ на пересечении 1₁2₁ с горизонтальной проекцией перпендикуляра, а затем находим фронтальную проекцию точки K → K₂ (рисунок 22а) по линиям связи.

а б

Рисунок 22 – Определение точки врезания перпендикуляра (а)

и натуральной величины отрезка DК (б)

Этап 3. Для определения натуральной величины отрезка DK воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Строим прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является D₁K₁, второй катет равен разности расстояний от точек D и K до горизонтальной плоскости проекций П₁ – ΔΖ.

Гипотенуза треугольника равна искомому расстоянию от точки D до плоскости ABС (рисунок 22б). Полностью решение и оформление задачи 1 (все три этапа) показано на рисунке 23.

Рисунок 23 – Определение расстояния от точки D до плоскости ABC – полное решение задачи