И фронтально конкурирующие (б) точки
Порядок построения задачи 3.1:
а) постройте треугольник АВС и прямую ДЕ по координатам;
б) найдите точку пересечения К;
в) определите видимость.
Пример решения задачи 3.1 дан на рисунке 13.
Рисунок 13 ‑ Пример решения задачи 3.1
3.2 Пересекающиеся плоскости
На рисунке 14а приведены плоскость общего положения, заданная ΔАВС, и горизонтально проецирующая плоскость . Найдем две общие точки для этих двух плоскостей. Очевидно, этими общими точками для плоскостей ∆АВС и α будут точки пересечения сторон АВ и ВС ΔАВС с проецирующей плоскостью . Построение точек D и Е, как на пространственном чертеже, так и на эпюре (рисунок 14б), не вызывает затруднений.
а б
Рисунок 14 ‑ Пространственный чертеж и эпюр сечения плоскости ΔАВС горизонтально проецирующей плоскостью α
Соединяя одноименные проекции точек D и Е, получим проекции линии пересечения плоскости ∆АВС и плоскости .
Таким образом, горизонтальная проекция D1E1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости (с ее горизонтальным следом 1).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения и (рисунок 15). Для построения линии их пересечения необходимо, как отмечалось выше, найти две точки, общие для обеих плоскостей.
Рисунок 15 ‑ Пространственный чертеж построения линии пересечения
двух плоскостей общего положения и
Для определения этих точек заданные плоскости пересекают двумя вспомогательными плоскостями. В качестве таких плоскостей целесообразнее взять проецирующие плоскости и, в частности, плоскости уровня. На рисунке 15 первая вспомогательная плоскость уровня каждую из данных плоскостей пересекает по горизонталям h и h1, которые определяют точку 1, общую для плоскостей и , а значит, и принадлежащую линии их пересечения. Взяв вторую вспомогательную плоскость , например, также параллельную Н (П1), получим еще одну точку – 2, принадлежащую плоскостям и . Эта точка определяется пересечением горизонталей h2 и h3, по которым вспомогательная плоскость пересекает каждую из данных плоскостей.
Описанный метод применен для эпюрного построения проекций линии пересечения двух плоскостей, первая из которых задана двумя параллельными прямыми, а вторая – тремя точками (рисунок 16). С помощью вспомогательной плоскости найдена точка 1 как точка, в которой пересекаются горизонтали h и h1. Точно так же с помощью плоскости определена вторая точка – 2.
Рисунок 16 ‑ Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения и на эпюре
Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость, что и сделано на рисунке 17, где построена линия 1–2 пересечения плоскостей (∆АВС) и (∆DEF).
Точка 1 этой линии определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости , проведенной через сторону DЕ треугольника DEF.
Именно эта сторона, проекции которой заданы, и является линией пересечения плоскости треугольника DEF и (DE = ∩ ).
Видимость сторон треугольника определена с помощью конкурирующих точек.
Рисунок 17 ‑ Вспомогательные проецирующие плоскости,
проведенные через стороны треугольников
На рисунке 17 в точке K2 находятся две конкурирующие точки: одна принадлежит проекции прямой D2E2, а вторая проекции стороны А2С2.
На горизонтальной проекции дальше от оси х лежит точка, принадлежащая прямой D1E1. Это означает, что на фронтальной проекции сторона DE находится над прямой АС.
Аналогично, проведя через сторону ВС горизонтально проецирующую плоскость , найдем точку 2. На рисунке 17 прямая ВС = ∩ , а MN = ∩ . Пересечение этих прямых определяет точку 2. Причем ее фронтальная проекция 22 была построена раньше, чем 21.
В тех случаях, когда одна из заданных пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения, построение линии их пересечения значительно упрощается. На рисунке 18а одна из заданных плоскостей (плоскость ΔDEF) является горизонтально проецирующей. Построение линии пересечения этих плоскостей свелось к построению фронтальных проекций точек 1 и 2, принадлежащих искомой линии. На рисунке 18б одна из плоскостей (плоскость ab//cd) является фронтально проецирующей. Построение линии пересечения свелось к построению горизонтальной проекции точек 1 и 2.
а б
Рисунок 18 ‑ Примеры пересечения плоскости частного положения