7.2 Сечение многогранников плоскостями общего положения

Задача 7.1. Если требуется построить фигуру сечения призмы плоскостью общего положения, достаточно просто превратить секущую плоскость в проецирующую. Сделать это можно с помощью одного из способов преобразования чертежа ‑ замены плоскостей проекций (рисунок 46) или вращением.

Так как секущая плоскость Q задана фронталью и горизонталью, замену плоскостей можно осуществить, проводя вспомогательную плоскость проекций перпендикулярно h₁. На новой плоскости проекций секущая плоскость Q (f x h) является проецирующей, т.е. точки пересечения видны на чертеже. Переносим их сначала на горизонтальную и далее на фронтальную плоскости проекций. Натуральная величина сечения определяется с помощью еще одой замены плоскостей проекций, проведя ось Х₂ через проецирующую плоскость. Удаление точек 1₄-2₄-3₄ измерьте от 1₁-2₁-3₁ до оси X₁.

Рисунок 46 ‑ Сечение призмы плоскостью общего положения.

Развертка боковой поверхности

Задача 7.2. На рисунке 47 дано решение подобной задачи для пирамиды SABC методом замены плоскостей проекций.

При решении задачи сделайте преобразование чертежа, превратив плоскость Р в проецирующую. Новую ось X ₁ проведите перпендикулярно горизонтальному следу Рн. Произвольную точку на фронтальном следе Рv спроецируйте на новую плоскость проекций. На новой плоскости проекций обозначьте след плоскости Р как след Рv_Т. Плоскость Р стала проецирующей и фигура сечения заключена между проекциями точек 1₄-2₄-3₄-4₄. По линиям связи перенесите точки фигуры сечения на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций.

Натуральную величину фигуры сечения найдите заменой плоскостей проекций, проведя X₂ через след Рv_Т. Удаление точек 1₄-2₄-3₄-4₄ измерьте от 1₁-2₁-3₁-4₁ до оси X₁.

Рисунок 47 ‑ Сечение пирамиды плоскостью общего положения.

Полное решение задачи

Тема 8 «Сечение поверхностей вращения плоскостями общего и частного положения»

Задачи по теме 8 выдаются на тринадцатой и четырнадцатой неделях, после прослушивания лекции 7 и практического занятия 14 [1, 2, 6, 7, 8, 9].

Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:

а) сечение поверхностей вращения плоскостями общего и частного положения;

б) определение натуральной величины сечения;

8.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Пересечение тел вращения плоскостью»

Вид фигуры сечения тел вращения плоскостью зависит от положения секущей плоскости.

При пересечении кругового цилиндра плоскостью в сечении могут получиться три фигуры:

а) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;

б) прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра (рисунок 48а);

в) эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра (рисунок 48б).

а б

Рисунок 48 ‑ Сечение цилиндра плоскостями частного положения

8.1.1 Развертка цилиндра

Построение развертки боковой поверхности прямого цилиндра, усеченного плоскостью Sv, показано на рисунке 49.

Развертка прямого цилиндра является прямоугольником, длина одной стороны которого равняется 2πR, а длина другой равна высоте образующей цилиндра. Но если требуется нанести на развертку контур усеченной части, то построение целесообразно вести, вписав в цилиндр двенадцатигранную призму. Обозначим точки сечения (сечение является эллипсом), лежащие на соответствующих образующих, точками 1₂, 2₂, 3₂ … и по линиям связи перенесем их на развертку цилиндра. Соединим эти точки плавной линией и пристроим натуральную величину сечения и основание к развертке.

Если цилиндрическая поверхность наклонная, то развертку можно строить двумя другими способами, рассмотренными в методических рекомендациях [9].

Рисунок 49 ‑ Построение развертки усеченной части цилиндра