6.2 Применение методов вращения для решения задач
Задача 6.1. Дана пирамида SАВС (рисунок 41). Определить величину двугранного угла при ребре АС.
Задача сводится к повороту проекции данного угла относительно плоскостей проекций так чтобы общее ребро спроецировалось в точку, т.е. оказалось перпендикулярно плоскости проекций.
Так как ребро АС – прямая общего положения, то необходимо произвести два последовательных поворота проекций, т.е. превратить АС в прямую уровня, а затем в проецирующую.
Рисунок 41 – Определение величины двугранного угла при ребре АС
Эпюр № 1. Методы преобразования чертежа. Эпюр № 1 содержит три основные задачи, решаемые с помощью преобразования чертежа. В него входят задачи, изученные в темах 5 и 6.
Тема 7 «Сечение многогранников плоскостями общего и частного положения»
Задачи по теме 7 выдаются на 12 неделе, после прослушивания лекции 6 и практического занятия 12 [1, 2, 7, 8, 9].
Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:
а) сечение многогранников плоскостями общего и частного положения;
б) развертка прямой и наклонной призмы;
в) развертка пирамиды;
г) определение натуральной величины фигуры сечения.
7.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Пересечение многогранников плоскостью»
Поверхность многогранника пересекается плоскостью по замкнутой ломаной линии – многоугольнику, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны являются линиями пересечения граней многогранника с секущей плоскостью (рисунок 42).
Рисунок 42 – Сечение призмы плоскостью
Если секущая многогранник плоскость является плоскостью частного положения, то точки фигуры сечения призмы и пирамиды переносятся на остальные проекции по линиям связи (рисунки 43 и 44).
Натуральная величина фигуры сечения определяется либо заменой плоскостей проекций, либо вращением.
7.1.1 Сечение прямой призмы
На рисунке 43 показано решение задачи 7.1, когда секущая призму плоскость является плоскостью частного положения. Точки фигуры сечения строятся по линиям связи.
Рисунок 43 ‑ Cечение прямой призмы фронтально проецирующей плоскостью
Развертка прямой призмы представляет собой прямоугольник, длина которого равна сумме сторон основания призмы, а высота равна высоте ребер призмы.
7.1.2 Сечение пирамиды
На рисунке 44 показано решение задачи 7.2, когда секущая пирамиду плоскость есть плоскость частного положения.
Точки 1 и 2 фигуры сечения лежат на ребрах пирамиды, а 3 и 4 на основании. Проекции точек строятся по линиям связи.
Построение развертки пирамиды требует обязательного определения натуральной величины ребер пирамиды. Натуральную величину ребер находят методом прямоугольного треугольника. Подробнее о развертке пирамиды показано ниже.
Рисунок 44 ‑ Сечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью
7.1.3 Теория для построения развертки боковой поверхности пирамиды
На примере рассмотрим построение полной развертки поверхности треугольной пирамиды SABC.
Так как боковые грани пирамиды являются треугольниками, то для построения ее развертки нужно построить натуральные виды этих треугольников. Для этого предварительно должны быть определены натуральные величины боковых ребер. Натуральную величину боковых ребер можно определить при помощи прямоугольных треугольников, в каждом из которых одним катетом является разность высоты точки S и точек А, В, С, а вторым катетом – отрезок, равный горизонтальной проекции соответствующего бокового ребра (рисунок 45).
Так как стороны нижнего основания АВС являются горизонталями, то их натуральные величины можно измерить на плоскости П1. После этого каждая боковая грань строится как треугольник по трем сторонам. Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде ряда примыкающих один к другому треугольников с общей вершиной S (S2C*, S2A*, S2B* являются натуральными величинами ребер пирамиды).
Для нанесения на развертку точек D, E и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью, нужно предварительно определить их натуральные расстояния от вершины S, для чего следует перенести точки D*, E* и F* на соответствующие натуральные величины боковых ребер.
Рисунок 45 – Развертка усеченной пирамиды