8.1.2 Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения

На рисунке 50 показано решение задачи 8.1.

Если требуется построить фигуру сечения цилиндра плоскостью общего положения, достаточно просто превратить секущую плоскость в проецирующую. Рекомендуем сделать это с помощью способа преобразования чертежа (замены плоскостей проекций).

Ход решения: а) плоскость общего положения с помощью замены плоскостей преобразовать в проецирующую; б) точки фигуры сечения перенести на горизонтальную и фронтальную проекции; в) с помощью второй замены плоскостей определить натуральную величину фигуры сечения; г) построить развертку боковой поверхности цилиндра; д) на развертку нанести точки фигуры сечения.

При решении задачи сделайте преобразование чертежа, превратив плоскость Р в проецирующую. Новую ось X₁ проведите перпендикулярно горизонтальному следу Рн. Произвольную точку на фронтальном следе Рv спроецируйте на новую плоскость проекций. На новой плоскости проекций обозначьте след плоскости Р как след Р_T. Плоскость Р стала проецирующей и фигура сечения заключена между проекциями точек a₄-b₄-c₄-d₄-g₄. По линиям связи перенесите точки фигуры сечения на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций. Найденные точки a и b являются высшей и низшей точками сечения и являются большой осью эллипса фигуры сечения. Точки e и g принадлежат малой оси эллипса. Находим их по линиям связи на фронтальной проекции.

Рисунок 50 ‑ Сечение прямого кругового цилиндра

плоскостью общего положения

Точки с и d являются крайними точками видимости для фронтальной проекции цилиндра. Все найденные точки сечения являются опорными, т.е. обязательными к построению.

На рисунке 51 представлена развертка усеченной части цилиндра.

Рисунок 51 – Развертка усеченной части цилиндра

Проекции сечения наклонного цилиндра плоскостью строятся с помощью вспомогательных проектирующих плоскостей, проводимых через ряд образующих цилиндра. Иначе говоря, в цилиндр вписывается многогранная призма, строится фигура сечения призмы плоскостью, а затем полученные точки соединяются не ломаной, а плавной кривой линией. Для решения этой задачи может быть применен также способ замены плоскостей проекций.

8.1.3 Сечение прямого кругового конуса плоскостями частного положения

Поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения, но она занимает особое место среди других поверхностей вращения. Эта поверхность в своем роде уникальна, она служит носителем нескольких кривых второго порядка: окружности, эллипса, параболы и гиперболы.

В зависимости от положения секущей плоскости получаются следующие фигуры сечения:

1) треугольник, если плоскость проходит через вершину конуса (она пересекает его по образующим; на рисунке 52а ‑ это образующие S1 и S2);

2) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса (рисунок 52б, плоскость α₂);

а б

Рисунок 52 – Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину (а) и плоскостью, параллельной основанию (б)

3) эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие данной поверхности или, иначе, не параллельна ни одной из образующих конуса (рисунок 53, плоскость α₃). В этом случае угол между секущей плоскостью и осью конуса больше угла между этой осью и образующей конуса;

Рисунок 53 ‑ Секущая плоскость пересекает все образующие конуса под углом

4) парабола, если секущая плоскость параллельна только одной из образующих (рисунок 54а, плоскость α₄). В этом случае углы между секущей плоскостью и осью конуса и между этой осью и образующей конуса равны между собой;

5) гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рисунок 54б, плоскость α₅). При этом угол между секущей плоскостью и осью конуса меньше угла между этой осью и образующей конуса.

Рисунок 54 – Сечение конуса плоскостью, параллельной только одной из образующих (а), и плоскостью, параллельной двум образующим (б)