2.2 Пример оформления задач 2.1 и 2.2
Для выполнения задачи 2.1 постройте горизонтали и фронтали для трех плоскостей: треугольник АВС задан координатами, две другие плоскости смотрите в индивидуальных заданиях (рисунок 9).
Рисунок 9 ‑ Пример оформления задач 2.1 и 2.2
Тема 3 «Пересечение прямых и плоскостей»
Задачи по теме 3 выдаются на третьей неделе, после проведения практического занятия 3 и лекции 2 [1, 2, 5, 6].
Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:
а) пересечение прямой и плоскости (общие и частные случаи);
б) понятие конкурирующих точек для определения видимости;
в) способы нахождения линии пересечения плоскостей общего и частного положений.
3.1 Теория к выполнению индивидуального задания «Построение прямой, пересекающей плоскость общего положения»
При решении вопроса о положении прямой относительно плоскости следует помнить, что:
а) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости;
б) прямая принадлежит плоскости, если проходит хотя бы через две точки, принадлежащие плоскости;
в) прямая пересекает плоскость, если не удовлетворяет первым двум требованиям.
Следуя приведенным выше соображениям, оценим взаимное положение прямой l и плоскости ΔABC, показанных на рисунке 10.
а б
Рисунок 10 ‑ Определение точки пересечения прямой l с плоскостью ΔABC
Если прямая l принадлежала бы плоскости треугольника, то обе проекции отрезка 11-21 и 12-22 совпали бы с проекциями прямой. Если бы прямая l и ΔАВС были бы параллельны, то проекции 11-21 и l1 и проекции 12-22 и l2 были бы соответственно параллельны. Так как прямая l и не принадлежит, и не параллельна плоскости, то очевидно, что прямая l пересекает плоскость ΔАВС и имеет с ним общую точку К (рисунок 10б).
При решении задачи на рисунке 10 обязательно определяют видимость для прямой и плоскости. Это делается с помощью метода конкурирующих точек (подробнее смотрите на рисунке 12). В точке 22 находятся две фронтально конкурирующие точки: одна принадлежит прямой l, вторая ‑ стороне АВ. На горизонтальной проекции дальше от оси х лежит точка, принадлежащая прямой АВ. Это означает, что на фронтальной проекции сторона АВ находится над прямой l.
Если прямая ‑ общего положения, а плоскость ‑ частного положения, то решение вопроса об их взаимном положении не требует дополнительных построений. На рисунке 11 прямые l и n пересекают плоскости в точке К.
а б
Рисунок 11 ‑ Пересечение прямой с плоскостями частного положения:
а) ΔАВС ‑ фронтально проецирующий; б) плоскость AB//CD задана параллельными прямыми и является горизонтальной плоскостью уровня
Определение видимости участков пересекающихся прямых и плоскостей осуществляется с помощью конкурирующих точек. На рисунке 12а изображены горизонтально конкурирующие точки А и В, а на рисунке 12б изображены фронтально конкурирующие точки C и D. Горизонтально конкурирующая точка А является видимой на горизонтальной проекции, так как ее фронтальная проекция наиболее удалена от оси х. На фронтальной плоскости (рисунок 12б) видимой является проекция точки D, так как ее горизонтальная проекция наиболее удалена от оси х.
а б
Рисунок 12 ‑ Горизонтально конкурирующие (а)