30. Угол между 2-мя пл-ми. Условия || и двух плоскостей. Ур-ие пл-ти, проходящей через три заданные точки.

Угол между 2-мя плоскостями. Условие паралл-ти и перп-ти 2-х плоскостей.

Пусть две плоскости π₁ и π₂ заданы общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Так как нормальным вектором плоскости π₁ является вектор , а нормальным вектором плоскости π₂ является вектор , то задача об определении угла между π₁ и π_2. Из определения скалярного произведения , и из выражения в координатных длин векторов n₁ и n_2, и их скалярного произведения, получим (1). Таким образом, угол φ между плоскостями π₁ и π₂ определяется по этой формуле.

Условия перпендикулярности плоскостей π₁ и π₂ вытекает из формулы (1) (при cosφ=0), т.е. A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

Условие параллельности плоскостей π₁ и π₂, эквивалентное условию коллинеарности векторов n₁ и n₂ , заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е.

Ур-е пл-ти , проходящей через 3 заданные.

П усть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарные, следовательно, точка лежит в одной плоскости с точками M₁, M₂ и M₃ тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трёх векторов равно нулю. Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение первой степени искомой плоскости, проходящей через три заданные точки:

31. Нормированное ур-ие пл-ти. Приведение общего ур-ия пл-ти к нормированному виду. Расстояние от точки до пл-ти.

Нормированное уравнение плоскости.

Рассм. любую пл-ть π. Проведём через начало координат О прямую n, перпендикулярную пл-ти π, и обозначим буквой p точку пересечения прямой n пл-ти π. На прямой n возьмём единичный вектор n, наплавление которого совпадает с направлением отрезка (в случае совпадения О и Р направление берём произвольно). В ыразим уравнение плоскости π через: 1) длину р отрезка , 2) углы α, β и γ наклона вектора n к осям Ox, Oy и Oz соответственно. Так как n – единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид (1). Точка M(x,y,z) лежит на рассматриваемой плоскости π тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. при условии пр_nOM=p. В силу определения скалярного произведения пр_nOM=n•OM. Так как , а вектор n определяется равенством (1), получим . Следовательно точка M(x,y,z) лежит на плоскости π тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0, которое называется нормированным уравнением плоскости.

Приведение общего ур-ия пл-ти к нормированному виду. Расстояние от точки до пл-ти.

Для приведения общего уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 к нормированному виду следует умножить его на нормирующий множитель , знак противоположен знаку D.

Док. Т.к. общее уравнение должны определять одну и ту же плоскость, то в силу замечания, доказанного найдется число t: tA = cosα, tB = cosβ, tC = cosγ, tD = –p (1).

Возводя в квадрат первые три равенства, складывая их и учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна 1, получим t²(A²+C²+B²)=1, откуда . - нормированное уравнение плоскости.

Т.к по смыслу расстояние p, то из четвертого уравнения (1) следует, что знак t противоположен знаку D.

Отклонением т.М от П наз-ся число , если М и О лежат по разные стороны от пл-ти, и –d если по одну.

Теорема: Левая часть нормированного уравнения плоскости = отклонению т.М(x,y,z) от этой плоскости.

Док_во: , , . Для того чтобы найти (Mo(Xo,Yo,Zo)) следует в левую часть нормир. ур-я пл-ти вместо x,y,z подставить Xo,Yo,Zo – точки Mo.