28. Нормированное ур-ие прямой на пл-ти. Приведение общего ур-ия прямой на пл-ти к нормированному виду. Расстояние от точки до прямой на пл-ти.

Нормированное уравнение прямой на плоскости.

Если уравнения заданы: L₁:y=k₁x+b₁, L₂:y=k₂x+b₂ если к₂>к₁tg= , n  L, n  L=P, |OP|=P, |n|=1 , nOP.

Если т.Р= т.О(0,0)  n-произвольный.  = (n,OX), n={|n|cos,|n|cos(/2-)} n{cos,sin},т.М(x,y)-точка  L. Очевидно, что М  L, если пр n M= т.Р, т.е. пр n OM = = -P, ,OM={x,y}, . xcos+ysin-p=0 - нормированное уравнение прямой

Приведение общего ур-ия прямой на пл-ти к нормированному виду.

Расстояние от точки до прямой на плоскости есть отклонение (M,L). Отклонением (M,L) называется число +d, если точка М и точка О лежат по разные стороны от прямой, и –d, если по одну сторону. Для того чтобы найти отклонение точки М₀(x₀,y₀) от прямой L cледует в левую часть нормированного уравнения этой прямой вместо x и y подставить координаты (x₀,y₀) точки М₀. Ax+By+C=0  Xcos+Ysin-p=0 (приведение к нормированному виду). Так как эти два уравнения определяют одну и ту же прямую t:  1=t²(A²+B²). P=>0, t и c имеют противоположные знаки 

(M,L)= Xcos+Ysin-p.

Для того чтобы привести общее уравнение прямой к нормированному виду следует умножить это уравнение на нормирующий множитель t знфк которого противоположен знаку c.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁: (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x–x₀)+B(y–y₀)+Ax₀+By₀+ C=0, то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: .

29. Пл-ть в трехмерном пространстве. Общее ур-ие пл-ти и его исследование. Ур-ие пл-ти в отрезках.

Общее уравнение плоскости и его исследование.

A x+By+Cz+D=0 (1) A, B, C, D – любые константы, требуется чтобы хотя бы один из коэффициентов был отличен от 0. Это есть общее уравнение плоскости. M₀(x₀,y₀,z₀) – коор. удовлетворяют (1). Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 (2). Если (1)-(2): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

M(x,y,z), n={A,B,C}, M₀Mn=A(x-x₀)+C(y-y₀)+c(z-z₀)=0, т.е. M₀Mn=0 <=> M₀M n, а т.к. M(x,y,z) это любая точка плоскости => n П, n={A,B,C}→ нормальный вектор плоскости.

Замечание: Пусть уравнение Ax+By+Cz+D=0 и A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, это есть уравнение одной и той же плоскости => существует число t: A₁=tA; B₁=tB; C₁=tC; D₁=tD

Док. n={A,B,C}; n₁={A₁,B₁,C₁} т.к. плоскость одна и та же => n₁║n=> существует t: n₁=tn=> A₁=tA; B₁=tB; C₁=tC. Возьмем любую точку M₀(x₀,y₀,z₀) П

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 уравнение умножим на t, A₁x₀+B₁y₀+C₁z₀+D₁=0 ⇒ (A₁-tA)x₀+(B₁-tB)y₀+(C₁-tC)z₀+(D₁-tD)=0 => равенство выполняется, если D₁-tD=0 =>D₁=tD. Общее уравнение плоскости (1) называется полным если все его коэффициенты отличны от 0, в противном случае уравнение называется не полным.

Ax+By+Cz+D=0

Все случаи неполных уравнений:

1) D=0 Ax+By+Cz=0→ проходит через начало коор.

2) A=0 By+Cz++D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OX

3) B=0 Ax+Cz+D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OY

4) C=0 Ax+By+D=0→ уравнение плоскости паралл. оси OZ

5) A=0 и B=0 Cz+D=0→ уравнение плоскости паралл. OXY

6) A=0 и C=0 By+D=0→ паралл. OXZ

7) B=0, C=0 Ax+D=0→ паралл. OYZ

8) A=0, B=0 и D=0 Cz=0→ OXY

9) A=0, C=0, D=0 By=0→ OXZ

10) B=0, C=0, D=0 Ax=0→OYZ.

Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим полное уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 (1). Так как все коэффициенты A, B, C и D отличны от нуля, следовательно, можно переписать это уравнение таким образом: . Обозначим и приведём уравнение (1) к виду , называемому уравнением плоскости в «отрезках». Геометрический смысл чисел a, b, c состоит в том,

что они равны величинам отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz соответственно.