1. Понятие матрицы. Осн. Операции над матрицами. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Св-ва этих операций.

Матрицей назыв. прямоуг. табл. чисел, содержащая произвольное число m строк и произв. число n столбцов. В случае, если m = n, матрица назыв. квадратной, а число m = n - ее порядком.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Сложение матриц: суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n назыв. матрица С тех же порядков m и n, эл-ты имеют вид . C = A+B. Св-ва: 1. Переместительное A+B=B+A; 2. Сочетательное (А+В)+С=А+(В+С); 3. Существование нулевой матрицы (все эл-ты равны 0); 4. Для A cуществует противоположная ей матрица. -A , A+(-A)=0

Умножение матрицы на число: Произведением матрицы , на вещественное число λ назыв. матрица элементы которой равны , C = λA или C = Aλ.

Св-ва: 1. распределительное λ(A + B) = λA + λB;2. сочетательное (λµ) A =λ (µA);3. распределительное относительно суммы чисел (λ+µ) A = λA + µA.

2. Понятие матрицы. Осн. Операции над матрицами. Умножение матриц и транспонирование матриц. Св-ва этих операций.

Матрицей назыв. прямоуг. табл. чисел, содержащая произвольное число m строк и произв. число n столбцов. В случае, если m = n, матрица назыв. квадратной, а число m = n - ее порядком.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Умножение матриц: Произведением матрицы , имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу , имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица , имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы , определяемые формулой , C = AB.

Св-ва: 1. сочетательное: (AB) C = A (BC); 2. распределительное относительно суммы матриц: (A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC; 3. перестановочное: лишь для квадратных матриц одинакового порядка.

, , то , а .

Транспонирование матриц: операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом .

А = = Св-ва: 1. ; 2. = ; 3. ; 4.

3. Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие определителя n-порядка.

Определитель 2-ого порядка, при n=2 => det A = ∆ = = * - * . Если n=3, то определителем 3-его порядка наыв. число, равное det A = = ( * )-( ). Каждый член определителя 2-ого порядка состоит из двух множителей, содержащихся по одному в каждой строке и в каждом столбце; при чём все произведения такого вида входят в этот определитель. Все члены определителя 3-его порядка состоят из трёх множителей, содержащихся по одному в каждой строке и каждом столбце; при чём все произв. такого вида входят в этот определитель. Аналогично, что каждый член n-порядка состоит из n-множителей, содержащихся по одному в каждой строке и в каждом столбце; при чём все произведения подобного вида должны являться членами определителя n-порядка.

Определителем n-порядка соответствующей матрицы А, назыв. число det A = ∆ = = где суммирование ведётся по всем перестановкам вторых индексов, ad – чётность перестановки этих индексов.

4. Св-ва определителей.

Св-во 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Св-во 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Св-во 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.

Св-во 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Св-во 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.

Св-во 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Св-во 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: a_ij=b_j+c_j, j = 1, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

Св-во 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю..

Св-во 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.