- •Гидравлика (курс лекций) введение
- •1.1 Жидкости и их физические свойства
- •1.2 Модели жидкости
- •1.3 Силы, действующие в жидкости
- •Плотность распределения касательных сил
- •Контрольные вопросы
- •2.1. Гидростатическое давление и его свойство
- •Уравнения равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре, в проекциях на оси координат имеют вид
- •2.2. Основное уравнение гидростатики
- •2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений равновесия жидкости для ряда частных случаев
- •2.4.1. Равномерное вращение сосуда с жидкостью
- •2.4.2. Прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением
- •После интегрирования получим .
- •2.4.3. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы
- •3.1. Общие положения и определения
- •3.2. Расход. Уравнение расхода
- •3.3. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении
- •Угловая скорость будет
- •Дифференциальные уравнения вихревых линий
- •Тогда согласно (3.13) получим
- •3.4. Ускорение жидкой частицы Ускорение жидкой частицы можно представить в виде
- •Контрольные вопросы
- •3.1 Динамика невязкой жидкости
- •3.2 Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •По аналогии с этим для элемента 2-2' получим
- •Тогда работа силы тяжести будет
- •Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
- •Подставим эти выражения в уравнения вихревой линии
- •4.3. Уравнение бернулли для элементарной струйки невязкого газа
- •Отсюда . Тогда решение интеграла имеет вид:
- •Контрольные вопросы
- •Динамика вязкой жидкости
- •Напряжения в движущейся вязкой жидкости
- •5.2. Уравнение бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости при установившемся движении
- •Т.К. Определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строк (см. Уравнение (4.15)). После интегрирования будем иметь
- •Если из массовых сил действует только сила тяжести, получим
- •5.3. Уравнение бернулли для потока при установившемся движении вязкой жидкости
- •5.3.1. Удельная энергия потока
- •Далее можем записать
- •Расход жидкости через живое сечение потока
- •5.3.2. Уравнение бернулли для потока
- •7.1. Режимы течения жидкости в трубах. Опыты рейнольдса
- •6.4. Ламинарное течение
- •Решая совместно (6.26) и (6.21), получим
- •Сопоставляя (6.27) и (6.28), получим , т.Е. Эпюра угловых скоростей частиц аналогична эпюре касательных напряжений.
- •6.4.2. Начальный участок ламинарного течения
- •6.4.3. Ламинарное течение в зазоре
- •Тогда и формула закона распределения скоростей по живому сечению будет иметь вид
- •Тогда формула (1.18) для данного случая примет вид и после интегрирования будет
- •Тогда закон распределения скоростей имеет вид
- •Б) направление движения стенки противоположно течению жидкости (рис.6.10, б).
- •Если поршень расположен в цилиндре с эксцентриситетом е, то зазор а будет переменной величиной (рис.6.11,б):
- •6.5. Турбулентное течение
- • Ламинарный подслой; 2 переходный слой;
- •3 Турбулентное ядро
- •Контрольные вопросы
- •6.6. Местные гидравлические сопротивления
- •Тогда исходное выражение уравнения Бернулли примет вид
- •Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении с поправкой на начальный участок, а также формулу Вейсбаха, выражение можно представить в виде
- •5.4. Общие сведения о гидравлических потерях
- •Контрольные вопросы
- •7.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре.
- •В данном случае имеем
- •Множитель называется коэффициентом скорости.
- •Из выражения (7.5) коэффициент расхода равен
- •Исходя из этого уравнения, скорость истечения составит
- •7.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •7.3. Истечение жидкости из резервуара при переменном напоре
- •Основной задачей, решаемой в этом случае, является определение времени опоражнивания резервуара от уровня н1 до н2.
- •Означает, что с уменьшением z объем вытекшей жидкости увели-чивается; dz - изменение уровня в резервуаре за время dt;
- •Отсюда имеем .
- •Контрольные вопросы
Контрольные вопросы
В каких единицах измеряется давление? Чему равняется атмосферное давление?
Что такое абсолютное, избыточное, вакуумметрическое давление?
Отличается ли пьезометрическая высота от вакуумметрической высоты?
В каких случаях плоскость пьезометрического напора располагается выше и ниже свободной поверхности покоящейся жидкости?
Может ли плоскость пьезометрического напора совпадать со свободной поверхностью?
Запишите выражение для полного дифференциала давления. Как из этого выражения получить основное уравнение гидростатики?
Что такое поверхность равного давления? Каково ее уравнение?
Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы
3.1. Общие положения и определения
Кинематика жидкости раздел гидромеханики, в котором движение жидкости и газа изучается вне зависимости от действующих сил.
В этом разделе устанавливаются связи между координатами жидких частиц, их скоростями, ускорениями и иными параметрами, а также закономерности их изменения во времени.
Кинематика жидкости существенно отличается от кинематики твердого тела. Если отдельные частицы твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкости такие связи отсутствуют. В процессе движения изменяются во времени как взаимные положения жидких частиц, так и их форма. Положение жидкой частицы определяется координатами некоторой точки, выбранной произвольно в пределах частицы. Эта точка называется полюсом.
Различные точки частицы имеют различные скорости, поэтому под скоростью жидкой частицы понимают скорость выбранного полюса. В общем случае движение жидкости можно считать определенным, если известны движения всех частиц, т.е. положение каждой частицы задано как функция времени.
Существуют два способа описания движения жидкости, разработанные, соответственно, Лагранжем и Эйлером.
Способ Лагранжа находит применение при решении ряда специальных задач, например, при расчете волновых движений.
Способ Эйлера применим и удобен для большего круга задач, решаемых в технической гидромеханике. В этом способе движение жидкости описывается функциями, выражающими изменения скоростей в точках некоторого неподвижного участка, выбранного в пределах потока. В данный момент времени в каждой точке этого участка, определяемой координатами х, у, z, находится частица жидкости, имеющая некоторую скорость V (скорость полюса). Эта скорость называется мгновенной местной скоростью.
Совокупность мгновенных местных скоростей представляет векторное поле, называемое полем скоростей. В общем случае поле скоростей изменяется во времени и по координатам:
Vx = f (x, y, z, t);
Vy = f (x, y, z, t); (3.1)
Vz = f (x, y, z, t).
Переменные х, у, z и t называются переменными Эйлера.
Течение жидкости может быть установившимся (стационарным) или неустановившимся (нестационарным).
При установившемся движении течение жидкости, неизменное во времени, т.е. время t в уравнениях (3.1) отсутствует.
Векторными линиями поля скоростей является линия тока.
Линия тока кривая в потоке движущейся жидкости, в каждой точке которой в данный момент времени вектор местной скорости направлен по касательной в этой точке (рис.3.1).
Как следует из определения, составляющие скорости, нормальные к линии тока, в любой точке этой линии равны нулю. Уравнение линии тока определяется из условия совпадения направления касательной к линии тока с направлением вектора местной скорости в каждой точке.
Направляющие косинусы (косинусы углов касательной к линии тока с осями координат) равны
и , (3.2)
где и - проекции элемента линии тока на оси координат.
Рис. 3.1. Схема к определению линии тока
Направляющие косинусы вектора скорости равны
. (3.3)
Тогда на линии тока имеем
(3.4)
или
. (3.5)
Отсюда, дифференциальные уравнения линий тока для данного момента времени
. (3.6)
Здесь t рассматривается как параметр, имеющий заданное значение.
Для установившегося движения жидкости уравнение линии тока имеет вид
. (3.7)
Очевидно, что в условиях установившегося течения линия тока совпадает с траекторией частицы и не изменяет своей формы с течением времени.
Если в движущейся жидкости взять бесконечно малый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока.
Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.
При стремлении поперечных размеров элементарной струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока. В любой точке трубки тока в данный момент времени проходит единственная линия тока.
Из определения линии тока следует, что ни одна частица жидкости ни в одной точке трубки тока не может проникнуть внутрь струйки или выйти наружу. Трубка тока, таким образом, является как бы непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.
Живым сечением струйки называется сечение, нормальное к каждой линии тока в пределах трубки тока.
В силу малости живого сечения элементарной струйки местные скорости жидкости в его пределах можно считать одинаковыми.
При изучении движения жидкости используются также понятия смоченный периметр и гидравлический радиус.
Смоченным периметром называется длина линии, по которой жидкость в живом сечении соприкасается с твердыми поверхностями, ограничивающими поток.
Смоченный периметр для напорного потока равен длине всего периметра сечения. Под напорным потоком здесь понимается такой поток, который ограничен твердыми поверхностями. Примером его может служить поток в трубе, все сечение которой заполнено движущейся жидкостью и стенки которой испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды.
В безнапорных потоках смоченный периметр составляет некоторую часть полного периметра. Примером безнапорного потока является поток в реке или канале, а также в трубе, работающей неполным сечением.
Рис. 3.2. Схемы безнапорных потоков
Для получения сопоставимых оценок потоков разной конфигурации и возможности описывать их едиными формулами используется понятие гидравлического радиуса.
Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения S к смоченному периметру χ
. (3.8)