После интегрирования получим .

Рис.2.9. Схема движения сосуда с постоянным ускорением

Постоянную интегрирования С найдем, подставив в это уравнение параметры точки свободной поверхности. Имеем х = 0; z = z_о и р = р_о.

Тогда

, (3.35)

. (3.36)

2.4.3. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости

Рассмотрим равновесие тела, погруженого в жидкость. При этом на тело будут действовать сила Архимеда и внешняя массовая сила

Точка, к которой приложена сила Архимеда называется центром давления.

Внешняя массовая сила приложена к центру масс рассматриваемого тела. Силы и , направлены вдоль одной прямой, но в разные стороны (рис. 2.10, а).

Если > , очевидно, что тело будет двигаться вниз и опуститься на дно. Если < , то тело будет двигаться вверх и всплывет на поверхность. Если = , то тело находится в равновесии в толще жидкости.

При условии, что центр давления D полностью погруженного в жидкость и находящегося в равновесии тела располагается выше центра масс С, то равновесие является устойчивым (рис. 2.10, б).

В этом случае, если вывести тело из равновесия, то пара сил создадут момент, возвращающее тело в исходное положение.

Если центр давления располагается ниже центра масс (рис. 2.10, в), то равновесие является неустойчивым и при небольшом отклонении тела от положения равновесия, возникающая пара сил создает опрокидывающий момент, способствующий большему отклонению тела от положения равновесия.

Рассмотрим равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости (рис. 2.11).

Линия пересечения поверхности тела плоскостью уровня жидкости называется ватерлинией, а плоскость, в которой расположена ватерлиния – плоскостью плавания.

Нормаль к плоскости плавания, проходящая через центр масс C и центр давления D называется осью плавания.

Необходимым условием равновесия плавающего на поверхности жидкости тела является равенство веса тела архимедовой силе (G = P ).

В этом случае устойчивое равновесие возможно, когда центр давления расположен ниже центра масс.

Для определения условий устойчивого равновесия рассмотрим тело

(рис. 2.12), отклонившееся от положения равновесия на угол α. В этом случае на затопленную часть тела BOB^/ действует дополнительная архимедова сила , а на осушенную часть – равная по величине силе , но противоположно направленная ей сила веса этой части.

В результате на выведенное из положения равновесия тело будут

действовать две пары сил ( и ), создающие опрокидывающий момент, и пара сил ( и ^/), создающиея восстанавливающий момент.

Равновесие будет устойчивым, если восстанавливающий момент больше опрокидывающего.

Условие устойчивого равновесия плавающего тела можно сформулировать следующим образом.

При отклонении тела от исходного положения центр давления переместится из точки D в точку D^/ (рис. 2.13). На тело при этом действует пара сил ( ^/, ), где ^/  архимедова сила, действующая на выведенное из положения равновесия тело.

Если прямая, в направлении которой действует сила , пересечет ось плавания в точке, расположенной выше центра масс С, то возникшая пара сил создает восстанавливающий момент и равновесие будет устойчивым. Точка M называется метацентром, а отрезок CM – метацентрической высотой.

Для устойчивого равновесия плавающего на поверхности тела необходимо и достаточно, чтобы метацентр располагался выше центра масс. Метацентрическая высота при этом принимает положительное значение.