- •Гидравлика (курс лекций) введение
- •1.1 Жидкости и их физические свойства
- •1.2 Модели жидкости
- •1.3 Силы, действующие в жидкости
- •Плотность распределения касательных сил
- •Контрольные вопросы
- •2.1. Гидростатическое давление и его свойство
- •Уравнения равновесия жидкости, заключенной в тетраэдре, в проекциях на оси координат имеют вид
- •2.2. Основное уравнение гидростатики
- •2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
- •2.4. Решение дифференциальных уравнений равновесия жидкости для ряда частных случаев
- •2.4.1. Равномерное вращение сосуда с жидкостью
- •2.4.2. Прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением
- •После интегрирования получим .
- •2.4.3. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 3. Кинематика жидкости. Общие положения и определения. Расход. Уравнение расхода. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении. Ускорение жидкой частицы
- •3.1. Общие положения и определения
- •3.2. Расход. Уравнение расхода
- •3.3. Движение жидкой частицы. Понятие о вихревом и потенциальном движении
- •Угловая скорость будет
- •Дифференциальные уравнения вихревых линий
- •Тогда согласно (3.13) получим
- •3.4. Ускорение жидкой частицы Ускорение жидкой частицы можно представить в виде
- •Контрольные вопросы
- •3.1 Динамика невязкой жидкости
- •3.2 Уравнение бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
- •По аналогии с этим для элемента 2-2' получим
- •Тогда работа силы тяжести будет
- •Разделим это уравнение на dG и произведя сокращения, можем записать
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
- •Подставим эти выражения в уравнения вихревой линии
- •4.3. Уравнение бернулли для элементарной струйки невязкого газа
- •Отсюда . Тогда решение интеграла имеет вид:
- •Контрольные вопросы
- •Динамика вязкой жидкости
- •Напряжения в движущейся вязкой жидкости
- •5.2. Уравнение бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости при установившемся движении
- •Т.К. Определитель равен нулю из-за пропорциональности первой и третьей строк (см. Уравнение (4.15)). После интегрирования будем иметь
- •Если из массовых сил действует только сила тяжести, получим
- •5.3. Уравнение бернулли для потока при установившемся движении вязкой жидкости
- •5.3.1. Удельная энергия потока
- •Далее можем записать
- •Расход жидкости через живое сечение потока
- •5.3.2. Уравнение бернулли для потока
- •7.1. Режимы течения жидкости в трубах. Опыты рейнольдса
- •6.4. Ламинарное течение
- •Решая совместно (6.26) и (6.21), получим
- •Сопоставляя (6.27) и (6.28), получим , т.Е. Эпюра угловых скоростей частиц аналогична эпюре касательных напряжений.
- •6.4.2. Начальный участок ламинарного течения
- •6.4.3. Ламинарное течение в зазоре
- •Тогда и формула закона распределения скоростей по живому сечению будет иметь вид
- •Тогда формула (1.18) для данного случая примет вид и после интегрирования будет
- •Тогда закон распределения скоростей имеет вид
- •Б) направление движения стенки противоположно течению жидкости (рис.6.10, б).
- •Если поршень расположен в цилиндре с эксцентриситетом е, то зазор а будет переменной величиной (рис.6.11,б):
- •6.5. Турбулентное течение
- • Ламинарный подслой; 2 переходный слой;
- •3 Турбулентное ядро
- •Контрольные вопросы
- •6.6. Местные гидравлические сопротивления
- •Тогда исходное выражение уравнения Бернулли примет вид
- •Учитывая закон сопротивления при ламинарном течении с поправкой на начальный участок, а также формулу Вейсбаха, выражение можно представить в виде
- •5.4. Общие сведения о гидравлических потерях
- •Контрольные вопросы
- •7.1. Истечение через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре.
- •В данном случае имеем
- •Множитель называется коэффициентом скорости.
- •Из выражения (7.5) коэффициент расхода равен
- •Исходя из этого уравнения, скорость истечения составит
- •7.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •7.3. Истечение жидкости из резервуара при переменном напоре
- •Основной задачей, решаемой в этом случае, является определение времени опоражнивания резервуара от уровня н1 до н2.
- •Означает, что с уменьшением z объем вытекшей жидкости увели-чивается; dz - изменение уровня в резервуаре за время dt;
- •Отсюда имеем .
- •Контрольные вопросы
4.2. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
В данном параграфе установим общие закономерности движения невязкой жидкости. Для этого в потоке невязкой жидкости выделим элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными координатным осям (рис.4.4).
Рис. 4.4. Схема к выводу дифференциальных уравнений
движения невязкой жидкости
На массу жидкости в объеме параллелепипеда, равную действуют массовые силы, пропорциональные массе, и поверхностные силы давления окружающей жидкости, распределенные по граням параллелепипеда, перпендикулярные к ним и пропорциональные площадям соответствующих граней.
Обозначим через плотность распределения равнодействующей массовых сил и через , ее проекции на соответствующие оси координат. Тогда проекция на направление ОХ массовых сил, действующих на выделенную массу жидкости, равна .
Обозначим через р давление в произвольной точке с координатами x, y, z, являющейся одной из вершин параллелепипеда. Пусть это будет точка А на рис.4.4.
В силу сплошности жидкости и непрерывности функции давления р = f (x, y, z, t) в точке В с координатами (х + dx, y, z) давление будет равно с точностью до бесконечно малых второго порядка.
Разность давлений равна и будет одинаковой для любой пары выбранных на гранях точек с одинаковыми координатами у и z.
Проекция на ось ОХ результирующей силы давления равна . Запишем уравнение движения в направлении оси ОХ
(4.14)
или после деления на массу получим
. (4.15)
Аналогично получим уравнения движения в направлении осей OY и OZ. Тогда система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости имеет вид
(4.16)
Эти дифференциальные уравнения были впервые получены Л. Эйлером в1755 г.
Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.
Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда наряду с силой тяжести действуют другие массовые силы при относительном движении жидкости. При этом в величины Rx, Ry и Rz должны войти компоненты ускорения переносного (или поворотного) движения. Так как при выводе уравнений (4.6) не накладывались условия стационарности движения, то они справедливы и для неустановившегося движения.
Учитывая, что для неустановившегося движения компоненты (проекции) скорости V являются функциями времени, можно записать ускорение выделенной массы жидкости в развернутом виде:
. (4.17)
Так как уравнения Эйлера (4.16) можно переписать в виде
. (4.18)
Для случая покоящейся жидкости уравнения (4.16) совпадают с дифференциальными уравнениями равновесия жидкости (2.5).
В задачах динамики жидкости массовые силы обычно считаются заданными (известными). Неизвестными являются функции давления р = f (x,y,z,t), проекции скорости Vx = f (x, y, z, t), Yy = f (x, y, z, t), Vz = f (x, y, z, t) и плотность = f (x, y, z, t), т.е. всего пять неизвестных функций.
Для определения неизвестных переменных используется система уравнений Эйлера. Поскольку число неизвестных превышает число уравнений к системе Эйлера добавляют уравнение неразрывности и уравнение состояния среды.
Для несжимаемой жидкости уравнение состояния p = const и уравнение неразрывности
. (4.19)
Профессором Казанского университета И.С.Громекой в 1881 г. уравнения Эйлера были преобразованы и записаны в иной форме. Рассмотрим уравнения (4.18).
В первом из них вместо и подставим их выражения из (3. 13):
и . (4.20)
Тогда
. (4.21)
Приняв обозначение , можем записать
. (4.22)
Аналогично преобразовав два остальных уравнения системы (4.7), получим систему уравнений в форме, данной Громекой
(4.23)
Если действующие на жидкость массовые силы обладают потенциалом, то проекции плотности распределения массовых сил Rx, Ry, Rz представляются частными производными от потенциальной функции П:
(4.24)
откуда
- dП = Rxdx + Rydy + Rzdz .(4.25)
Подставив значения Rx, Ry, Rz в систему (4.8), получим систему дифференциальных уравнений движения несжимаемой жидкости под действием сил, имеющих потенциал:
(4.26)
При установившемся движении частные производные составляющих скорости по времени равны нулю:
. (4.27)
Тогда уравнения системы (4.10) примут вид
(4.28)
Умножив каждое из уравнений системы (4.11) на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = Vxdt; dy = Vydt; dz = Vzdt, и сложим уравнения. Будем иметь
Правую часть полученного выражения можно переписать в виде определителя, т.е.
(4.29)
Если определитель равен нулю, т.е.
(4.30)
то имеем
. (4.31)
Это уравнение Бернулли для элементарной струйки при установившемся движении невязкой жидкости.
Чтобы привести уравнение (4.14) к виду уравнения Бернулли, полученному в (4.1), определим вид потенциальной функции П для случая, когда действует только одна массовая сила сила тяжести. В этом случае Rx = Ry = 0 и Rz = - g (ось OZ направлена вверх). Из (4.9) имеем
или . (4.32)
Подставив это выражение П в (4.14), получим
или .
Последнее выражение полностью соответствует уравнению Бернулли (4.4).
Выясним, в каких случаях установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости справедливо уравнение Бернулли или, иначе говоря, в каких случаях определитель в правой части уравнения (4.13) обращается в нуль.
Известно, что определитель равен нулю, если две строки (или два столбца) равны или пропорциональны друг другу или если одна из его строк или один из столбцов равны нулю. Рассмотрим эти случаи последовательно.
А. Пропорциональны члены первой и третьей строк, т.е. уравнение Бернулли справедливо, если
.
Это условие выполняется на линиях тока (3.2).
Б. Пропорциональны члены первой и второй строк, т.е. уравнение Бернулли справедливо, если
.
Это условие выполняется на вихревых линиях (3.16).
В. Пропорциональны члены второй и третьей строк:
. (4.16)
Тогда ωx= aVx ; ωy = aVy; ωz = aVz.