1.  Ламинарный подслой; 2  переходный слой;

3  Турбулентное ядро

Ламинарный подслой, расположенный непосредственно у стенок трубы, имеет весьма малую толщину δ, которая для развитого турбулентного потока может быть найдена по полуэмпирической формуле

,

где ν  кинематическая вязкость; d  диаметр трубы; V_cp  средняя по живому сечению скорость потока; λ  коэффициент Дарси.

Полуэмпирическая теория Прандтля основана на представлении о том, что при турбулентном перемешивании количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком.

Длина этого пути  так называемая длина пути перемешивания l. Предполагается, что это расстояние частица жидкости проходит, не взаимодействуя с другими частицами и сохраняет постоянным свое среднее количество движения. Длина пути перемешивания имеет аналог в виде длины свободного пробега молекул. Однако, средняя длина пробега молекул мала по сравнению с размерами потока, а размеры турбулентных вихрей могут быть сопоставимы с размерами сечения потока.

Л. Прандтль предположил, что для полубезграничного потока вдоль стенки справедлива линейная зависимость длины пути перемешивания l от расстояния z от стенки, т.е. I = χ z, где χ - универсальная постоянная. С достаточной степенью точности эта гипотеза была подтверждена опытным путем для потока вблизи плоской стенки, однако, оказалась неприменимой для течения в плоском канале и круглой трубе.

Для последних случаев предложены эмпирические зависимости.

Для установления причины повышения сопротивления движению при турбулентном режиме течения рассмотрим схему турбулентного установившегося потока, изображенного на рис.6.14.

Рис. 6.14. Схема распределения скоростей в турбулентном потоке

Ось ОХ направлена вдоль осредненного движения потока. Через площадку S, нормальную к оси OZ, переносится жидкость со скоростью . Масса перенесенной за время t жидкости составит по гипотезе Прандтля

Если до пересечения площадки продольная скорость этой массы жидкости равна , а количество движения , то согласно гипотезе Прандтля значения этих величин остаются постоянными на пути перемещения 1, а затем изменяются.

На расстоянии 1 от рассматриваемой площадки осредненная скорость потока станет равна

,

а количество движения массы будет

Изменение количества движения обусловлено действием некоторой продольной силы R_турб :

.

Отсюда

Эту силу называют силой турбулентного трения.

Модуль касательного напряжения составит

Для двухмерных равномерных потоков (рис. 6.14)

В этом случае .

Допуская, что , предыдущее выражение можно представить в виде

Таким образом, теория Прандтля объясняет происхождение турбу­лентных касательных напряжений обменом количества движения при перемешивании масс жидкости.

Далее Прандтль предположил, что величины и одного по­рядка. Тогда можно записать

(6.36)

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме движения представляет собой сумму вязкостных напряжений _лам и _турб

. (6.37)

Знак плюс в первом слагаемом взят потому, что отсчет расстояния z ведется от стенки.

В соответствии с приведенной двухслойной моделью турбулентного потока в турбулентном ядре _турб >> _лам и первым слагаемым в формуле (6.37) можно пренебречь и принять

.

Отсюда .

Используя формулу Прандтля для длины пути перемешивания и введя обозначение , проинтегрируем последнее выражение

(6.38)

Эта формула выражает закон распределения скоростей в турбулентной области потока.

Логарифмический вид формулы (6.38) получен как следствие гипотезы Прандтля и, как отмечалось выше, неприемлем для течений в плоских каналах и трубах. Тем не менее, это уравнение составляет основу теории турбулентных потоков и находит все более широкое применение. Большинство эмпирических формул также имеет логарифмический вид.

Из физической картины турбулентного режима течения жидкости следует, что распределение скоростей в турбулентном ядре более равно­мерное. Действительно, интенсивное перемешивание частиц жидкости, их переход из слоя в слой по живому сечению потока приводит к выравниванию значений скоростей. В связи с этим коэффициент Кориолиса , учитывающий неравномерность распределения скоростей по сечению в уравнении Бернулли, при турбулентном течении значительно меньше, нежели при ламинарном.

Напомним, что при ламинарном режиме течения  = 2 и не зависит от числа Рейнольдса.

При турбулентном режиме движения коэффициент Кориолиса является функцией Re и уменьшается с увеличением последнего (рис. 6. 15) от  =1,13 при Re = Re_rp до  = 1,025 при Re = 3 10^б.

Как видно из графика, кривая  при возрастании числа Рейнольдса асимптотически приближается к единице, поэтому в большинстве случаев при турбулентном течении можно принимать  = 1.

Рис.6.15. Зависимость коэффициента Кориолиса от lg Re