2.4.1. Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью (рис 2.9) и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью ω вокруг его вертикальной оси.

Рис.2.8.Схема вращения жидкости вместе с сосудом

Жидкость постепенно приобретает ту же угловую скорость, что и сосуд, а ее свободная поверхность станет криволинейной в виде неко­торой поверхности вращения.

На жидкость в этом случае действуют две массовые силы  сила тя­жести G = mg и центробежная сила R_ц = mω²r.

Проекции вектора плотности распределения массовых сил будут:

 от силы тяжести и ;

 от центробежной силы ; и ,

где х и у  горизонтальные координаты вокруг вертикальной оси произвольно выбранной точки жидкости.

На свободную поверхность действует гидростатическое давление р_о от поверхностных сил. Определим вначале форму поверхностей уровня (поверхностей равного давления). Используем уравнение поверхности равного давления (2.20)

,

подставляя соответствующие проекции массовых сил получим

,

т.е. .

После интегрирования получим

(2.25)

или имея в виду

. (2.25)

Из этого уравнения видно, что поверхности уровня в рассматривае­мом случае представляют собой семейство конгруэнтных (совмещающихся при наложении) параболоидов вращения с вертикальной осью.

Свободная поверхность также является поверхностью уровня, во всех точках которой давление равно внешнему давлению р_о. Найдем значение постоянной С для параболоида свободной поверхности. Координаты вершины параболоида x_о = 0; y_о = 0; z_о= h. Подставив эти координаты в уравнение (2.25), получим С_о = - gh и уравнение свободной поверхности

. (2.26)

Ордината h вершины параболоида свободной поверхности при заданной угловой скорости зависит от объема жидкости в сосуде. Если до вращения сосуда уровень жидкости устанавливался на высоте Н_н, то объем жидкости равнялся ωR_c²Н_н.

При вращении сосуда форма объема жидкости изменяется, а его величина при ω = соnst остается неизменной

. (2.27)

После интегрирования имеем

. (2.28)

Закон распределения давлений найдем, используя дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.19), подставив в него проекции плотности распределения массовых сил

. (2.29)

После интегрирования имеем

. (2.30)

Постоянную интегрирования С находим, введя координаты вершины параболоида свободной поверхности г = 0, z = h и давление р = р_о в уравнение (2.30)

. (2.31)

Подставив найденное значение С в уравнение (2.30), получим

. (2.32)

Поверхности равных давлений представляют собой параболоиды вращения конгруэнтные параболоиду свободной поверхности.

2.4.2. Прямолинейное движение сосуда с постоянным ускорением

Рассмотрим относительный покой жидкости, находящейся в сосуде, перемещающемся горизонтально с постоянным ускорением а (рис.2.9).

В этом случае равнодействующая массовых сил R равна сумме силы тяжести R_g и силы инерции R_а. Плотность распределения этих сил, соответственно, составляет g и а. Проекции равнодействующей на оси координат будут

; ; . (2.33)

Тогда дифференциальное уравнение равновесия жидкости (2.19) примет вид

. (2.34)