2.3. Пример решения линейной системы дифференциальных уравнений
Задача
Дана система уравнений:
Требуется:
Найти весовую матрицу системы.
Записать частное решение однородной системы уравнений с начальными условиями
.Найти по теореме Коши частное решение неоднородной системы с нулевыми начальными условиями.
Записать общее решение неоднородной системы уравнений.
Оглавление
Запишем исходную систему уравнений в матричном виде.
Как известно, весовая матрица системы совпадает с матрицей , которая, в свою очередь, в случае системы второго порядка может быть найдена в виде разложения по степеням матрицы А до первого порядка включительно
Непосредственное дифференцирование этого соотношения дает
С другой стороны весовая матрица удовлетворяет системе уравнений
Значит, справедливо
Характеристическое уравнение для матрицы А
Корни характеристического уравнения равны
.
Согласно теореме Гамильтона-Кэли, всякая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, значит
.
Тогда,
для производной
имеем
два представления
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
матрицы А, получим систему уравнений
для
Продифференцируем второе уравнение системы
,
Оглавление
и
подставим в него
из первого. В результате получим уравнение
для
Решение этого уравнения имеет вид
Принимая во внимание начальные условия для
получим
.
Соответственно,
Тогда весовая матрица равна
Окончательно получим
Частное решение однородной системы уравнений при начальных условиях
для переменных
имеет
вид
Следовательно,
С учетом заданных в задаче начальных условий
И, окончательно
Оглавление
По теореме Коши частное решение неоднородной задачи с нулевыми начальными условиями может быть найдено по теореме Коши
Тогда
В результате получим
Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного неоднородной с нулевыми начальными условиями.
2.4. Вопросы для самоконтроля
Запишите линейную однородную и линейную неоднородную системы дифференциальных уравнений.
Что такое характеристическое уравнение линейной системы?
Дайте определение весовой матрицы линейной системы дифференциальных уравнений. Запишите дифференциальное уравнение для весовой матрицы. Каким начальным условиям удовлетворяет весовая матрица?
Сформулируйте теорему Коши.
Какой вид имеет общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений?
Оглавление
Какой вид имеет общее решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений?
Какой вид имеет частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями?
Сформулируйте теорему Гамильтона-Кэли.
Дайте определение экспоненты от матрицы.
Оглавление
Лекция 3. Управляемые линейные системы. Критерий управляемости калмана
Определение управляемых систем, матрица управляемости, ранг матрицы, критерий управляемости Калмана, системы со скалярным управлением.