5.3. Анализ управляемости системы по критерию Хаутуса
Воспользуемся критерием Хаутуса 4121, 4122 для систем второго порядка. Для этого запишем систему уравнений 5148 в матричной форме 4116. Введем вектор переменных
1565156\* MERGEFORMAT (.)
Оглавление
Тогда
матрицы
и вектор дозатор
будут
. 1575157\* MERGEFORMAT (.)
Характеристическое уравнение системы
1585158\* MERGEFORMAT (.)
имеет корни
1595159\* MERGEFORMAT (.)
Согласно критерию Хаутуса 4121 система
будет управляемой, когда выполнено условие
, 1605160\* MERGEFORMAT (.)
где
корни 5159 характеристического уравнения
При
матрица 5160 будет
, 1615161\* MERGEFORMAT (.)
при
матрица 5160 имеет вид
. 1625162\* MERGEFORMAT (.)
Легко видеть, что ранг матриц 5161 и 5162 равен двум, если .
Итак, согласно теореме Хаутуса, система 5148 является вполне управляемой, если длины маятников разные.
1636Equation Section (Next)
Оглавление
Лекция 6. Синтез управления в задаче о стабилизации маятника в верхнем положении равновесия
Фазовая плоскость, типы особых точек линейной системы второго порядка, построение управления колебаниями маятника в виде обратной связи, синтез управления при ограничениях на величину управляющего параметра, область притяжения, область управляемости, построение управления методом выделения неустойчивой координаты
6.1. Фазовая плоскость. Типы особых точек линейного дифференциального уравнения второго порядка
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
1646164\* MERGEFORMAT (.)
В формулах 6164 и далее точкой обозначена производная по времени.
В переменных
, 1656165\* MERGEFORMAT (.)
уравнение 6164 второго порядка принимает вид системы двух дифференциальных уравнений первого порядка
1666166\* MERGEFORMAT (.)
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения 6164 и системы уравнений 6166 имеет вид
1676167\* MERGEFORMAT (.)
Тривиальное решение уравнения 6164
, 1686168\* MERGEFORMAT (.)
определяет
положение равновесия системы. Если
начальные условия
нулевые, то положение равновесия будет
сохраняться бесконечно долго. При
ненулевых начальных условиях для
координаты
и скорости
будет происходить некоторое движение.
Для
качественного анализа характера
изменения переменных
используется фазовая плоскость. По осям
фазовой плоскости откладываются значения
координаты
(или
)
и скорости
(или
).
Дифференциальные
Оглавление
уравнения
фазовых траекторий в переменных
,
могут быть получены из уравнений 6166
путем исключения из них времени
1696169\* MERGEFORMAT (.)
В переменных уравнения фазовых траекторий будут соответственно
1706170\* MERGEFORMAT (.)
Через каждую точку на фазовой плоскости проходит только одна кривая. Исключение составляет только начало координат, соответствующее тривиальному решению 6168. Начало координат называется особой точкой, так как через нее могут проходить несколько фазовых траекторий.
Движение по фазовым траекториям происходит в верхней полуплоскости фазовой плоскости слева направо, так как в верхней полуплоскости скорость изменения фазовой координаты положительна и, значит, фазовая координата возрастает. В нижней полуплоскости движение по траектории происходит справа налево. Фазовые траектории вне особой точки могут пересекать координатную ось, соответствующую фазовой координате только под прямым углом, так как в точке пересечения фазовая скорость равна нулю, и фазовая координата принимает соответственно максимальное или минимальное (локально) значение.
Характер поведения фазовых кривых определяется корнями характеристического уравнения 6167. В зависимости от их значений для особой точки существует следующая классификация.