Лекция 5. Задача одновременного управления двумя маятниками
Вывод уравнений, линеаризация, анализ управляемости по критерию Калмана, анализ управляемости по критерию Хаутуса
1355Equation Section (Next)
5.1. Уравнения движения системы двух маятников
Рассмотрим
систему двух математических маятников,
точки крепления которых, находятся на
движущейся по горизонтали платформе
(рис. 1). Длины маятников равны
и
,
их массы
и
соответственно. Масса платформы
пренебрежимо мала. Управление колебаниями
маятников осуществляется выбором закона
движения
платформы по горизонтали.
Рис.1 Система двух маятников
Механическая
система, представленная на рис. 1, имеет
две степени свободы, в качестве обобщенных
координат, задающих ее положение, выберем
углы
и
отклонения маятников.
Уравнения движения системы составим в форме уравнений Лагранжа второго рода
1365136\* MERGEFORMAT (.)
Согласно стандартной методике, запишем кинетическую энергию, потенциальную энергию системы и функцию Лагранжа.
Кинетическая энергия системы равна
Оглавление
1375137\* MERGEFORMAT (.)
Проекции скорости точки А на оси системы координат
1385138\* MERGEFORMAT (.)
Проекции скорости точки В на оси системы координат
1395139\* MERGEFORMAT (.)
Тогда кинетическая энергия 5137
1405140\* MERGEFORMAT (.)
Потенциальная энергия сил тяжести равна
1415141\* MERGEFORMAT (.)
Функция Лагранжа
1425142\* MERGEFORMAT (.)
Вычислим необходимые для составления уравнений Лагранжа производные по обобщенной координате
1435143\* MERGEFORMAT (.)
Производные для переменной выглядят аналогично.
Уравнения Лагранжа имеют вид
1445144\* MERGEFORMAT (.)
При малых углах отклонения маятников уравнения 5144 имеют вид
Оглавление
1455145\* MERGEFORMAT (.)
или
1465146\* MERGEFORMAT (.)
Выберем
в качестве управляющего параметра
ускорение точек подвеса маятников,
взятое с обратным знаком, то есть
1475147\* MERGEFORMAT (.)
Тогда уравнения 5146 будут описывать поведение динамической системы со скалярным управлением
1485148\* MERGEFORMAT (.)
Анализ управляемости системы проведем с помощью критерия управляемости Калмана и критерия управляемости Хаутуса.
5.2. Анализ управляемости системы по критерию Калмана
Для использования критерия Калмана запишем систему уравнений 5148 в форме Коши 3101 для систем со скалярным управлением
В
рассматриваемой задаче
.
Введем вектор переменных
1495149\* MERGEFORMAT (.)
Уравнения
5148 в переменных
будут
Оглавление
1505150\* MERGEFORMAT (.)
Тогда
матрица
и вектор дозатор
в
системе уравнений 3101 имеют вид
1515151\* MERGEFORMAT (.)
Составим матрицу управляемости 3102 для системы уравнений 5151.
1525152\* MERGEFORMAT (.)
Столбцы матрицы управляемости равны
1535153\* MERGEFORMAT (.)
Матрица управляемости 5152 получится
Оглавление
1545154\* MERGEFORMAT (.)
Согласно критерию управляемости Калмана, система со скалярным управлением будет управляемой, если выполняется условие 3103
Вычислим определитель матрицы управляемости 5154. Используя разложение определителя 5154 по первому столбцу, получим
1555155\* MERGEFORMAT (.)
Из
соотношений 5155 следует, что
,
если
.
Таким образом, из теоремы Калмана получаем результат: система двух маятников вполне управляема, если длины маятников разные.