3.1. Представление решения линейной управляемой системы с помощью матричной экспоненты. Матрица управляемости Калмана

723Equation Section (Next)

Рассмотрим линейную систему с управлением следующего вида

73373\* MERGEFORMAT (.)

где - n-мерный вектор-столбец пространства состояний,

k-мерный вектор управления,

постоянная квадратная матрица системы,

- матрица дозатор.

Оглавление

Определение

Система называется управляемой на некотором интервале времени , если найдется такой вектор управления , который переводит систему из некоторого начального положения в заданное конечное положение .

Условие управляемости дает теорема Калмана.

ТЕОРЕМА

Линейная система, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

_{является вполне управляемой, когда ранг матрицы управляемости W равен n.}

Система уравнений 373 представляет собой линейную неоднородную систему уравнений. Её решение, согласно теореме Коши 244, может быть записано в виде интеграла свертки

_, 74374\* MERGEFORMAT (.)

где весовая матрица системы.

Так как весовая матрица тождественно равна матричной экспоненте (см. п. 2.2)

75375\* MERGEFORMAT (.)

То решение 374 можно представить в виде

76376\* MERGEFORMAT (.)

Умножим правую и левую часть 376 на . Тогда для конечного момента управления получим

77377\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

В соотношении 377 слева стоит постоянный вектор

, 78378\* MERGEFORMAT (.)

определяемый начальными и конечными условиями для переменной состояния , а слева некоторая функция управления.

Согласно определению управляемой системы, данному в начале параграфа, если из соотношения 377 удастся определить управляющий вектор , то система 373 будет управляемой.

_{Как известно, экспонента от матрицы может быть представлена в виде разложения по степеням матрицы А до порядка n-1 включительно}

79379\* MERGEFORMAT (.)

Для имеем соответственно

80380\* MERGEFORMAT (.)

Тогда из 377 с учётом 378 и 380 получим

81381\* MERGEFORMAT (.)

Проведем следующие преобразования полученного интеграла: изменим порядок проведения процедуры интегрирования и суммирования и поменяем местами скалярную функцию и матрицы

82382\* MERGEFORMAT (.)

В интегралах 382 матрица А системы и матрица дозатор В постоянные матрицы и могут быть вынесены из под знака интеграла, поэтому

83383\* MERGEFORMAT (.)

Под знаком интегралов, входящих в выражение 383 стоят произведения скалярных функций и вектора столбца , то есть сами интегралы

Оглавление

84384\* MERGEFORMAT (.)

есть постоянные столбцы той же размерности, что и вектор управления . С учетом введенного 384 обозначения представим вектор z

85385\* MERGEFORMAT (.)

В ведем коагулированную матрицу, составленную из матриц , записанных в строку

86386\* MERGEFORMAT (.)

матрица W состоит из n строк (столько же сколько и в матрицах ) и столбцов. Матрица W называется матрицей управляемости Калмана.

Введем также коагулированный столбец , состоящий из столбцов , записанных в столбец

. 87387\* MERGEFORMAT (.)

Вектор будем называть обобщенным вектором управления

С учётом введённых обозначений правая часть соотношения 385 может быть представлена в виде

88388\* MERGEFORMAT (.)

Тогда формула 385 примет вид

89389\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление