3.3. Критерий управляемости Калмана для систем со скалярным управлением

Если имеется только один управляющий параметр u, то управление является скалярной величиной. Размерность вектора управления, который фигурирует в вышеприведённой теореме, равна единице.

В случае скалярного управления система дифференциальных уравнений 373имеет вид

, 1013101\* MERGEFORMAT (.)

где

постоянная квадратная матрица системы,

- n-мерный вектор-столбец пространства состояний,

- n-мерный вектор дозатор.

Матрица управляемости Калмана W 386 в этом случае будет квадратной и состоящей соответственно из n столбцов

1023102\* MERGEFORMAT (.)

Доказательство теоремы, по-прежнему, справедливо. Условие управляемости системы, , в случае квадратной, размера , матрицы эквивалентно условию

1033103\* MERGEFORMAT (.)

Итак, для систем со скалярным управлением справедлива формулировка теоремы Калмана.

Оглавление

ТЕОРЕМА

Линейная система со скалярным управлением, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

_{является вполне управляемой тогда и только тогда, когда определитель матрицы управляемости W отличен от нуля.}

3.3. Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение управляемой системы.

2. Что такое матрица управляемости?

3. Дайте определение ранга матрицы.

4. Сформулируйте критерий управляемости Калмана.

5. Сформулируйте критерий управляемости Калмана для систем со скалярным управлением.

Оглавление

Лекция 4. Управляемые линейные системы. Критерий управляемости хаутуса

Критерий управляемости Хаутуса для систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, эквивалентность критерия Калмана и критерия Хаутуса, критерий управляемости Хаутуса для систем второго порядка

4.1. Критерий управляемости Хаутуса

1044Equation Section (Next)

Рассмотрим линейную систему уравнений 373. В предыдущей лекции для систем такого вида был доказан критерий управляемости Калмана, согласно которому, система 373 вполне управляема, только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен размерности системы. То есть

1054105\* MERGEFORMAT (.)

В настоящей лекции рассмотрим другой критерий управляемости. Сформулируем теорему.

ТЕОРЕМА ХАУТУСА

Линейные системы являются управляемыми тогда и только тогда, когда

, 1064106\* MERGEFORMAT (.)

для всех корней характеристического уравнения 236 матрицы А

Утверждение

Теорема Калмана и теорема Хаутуса эквивалентны.

Пусть критерий Калмана 4105 выполнен. Покажем тогда, что критерий Хаутуса 4106 также выполняется.

Предположим обратное. Пусть

Оглавление

. 1074107\* MERGEFORMAT (.)

Из предположения 4107 следует, что строки матрицы линейно зависимы, и, значит, найдется равная нулю линейная комбинация строк этой матрицы с ненулевыми коэффициентами. Возьмем ненулевой вектор

. 1084108\* MERGEFORMAT (.)

Составим линейную комбинацию строк матрицы , и приравняем её нулю

. 1094109\* MERGEFORMAT (.)

В формуле 4109 справа стоит нулевая - мерная строка. Очевидно, что равенство нулю строки означает, что равны нулю все ее элементы. Тогда, из соотношения 4109 следует, что

. 1104110\* MERGEFORMAT (.)

. 1114111\* MERGEFORMAT (.)

Таким образом, вектор есть левый собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению матрицы А

_. 1124112\* MERGEFORMAT (.)

Умножим слева матрицу управляемости 4105 на вектор-строку

. 1134113\* MERGEFORMAT (.)

Принимая во внимание 4112, получим

. 1144114\* MERGEFORMAT (.)

Тогда из соотношения 4111 следует, что

1154115\* MERGEFORMAT (.)

Оглавление

Следовательно, строки матрицы управляемости линейно зависимы. Но это противоречит тому, что критерий Калмана 4105 для системы 373

выполнен. Значит, предположение 4107 о ранге матрицы было ошибочно.

Итак, показано:

КРИТЕРИЙ КАЛМАНА КРИТЕРИЙ ХАУТУСА

Обратное утверждение тоже выполняется (без доказательства).